这个计算器能做什么
本工具用于计算前 n 个完全立方数之和，也就是 \(1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \dots + n^{3}\)。它不需要逐项相加，而是借助一个著名的闭式恒等式，无论 n 有多大，都能瞬间给出精确答案。
使用方法
在项数 n 处输入一个正整数，即可直接读取结果。计算器还会同时显示作为中间量的三角形数 \(n(n+1)/2\)，让你一眼看清答案是如何推导出来的。
公式解析
核心结论就是著名的 尼科马库斯恒等式（Nicomachus identity）：
$$\sum_{k=1}^{n} k^{3} = \left( \frac{n\left(n+1\right)}{2} \right)^{2}$$
令人惊叹的是，前 n 个立方数之和恰好等于前 n 个整数之和的平方。括号内的 \(n(n+1)/2\) 正是第 n 个三角形数 \(T(n)\)，因此立方和就等于 \(T(n)\) 的平方。这使得计算复杂度为 \(O(1)\)，无需循环累加，而且对整数输入始终给出精确结果。
实例演示
以 \(n = 4\) 为例：三角形数为 \(4\times 5/2 = 10\)，平方后得到 \(10^{2} = 100\)。直接逐项验证：\(1 + 8 + 27 + 64 = 100\)。两种算法结果一致，印证了该恒等式的正确性。
常见问题
这个公式只适用于整数吗？ 是的。该恒等式针对 \(k = 1\) 到 \(n\) 的整数项求和，因此 n 应为正整数。
为什么结果总是完全平方数？ 因为立方和等于 \(T(n)^{2}\)，其中 \(T(n)\) 是第 n 个三角形数；任何整数的平方都是完全平方数。
n 可以取很大的值吗？ 可以。由于采用的是闭式公式，即使 n 很大也能瞬间算出，不过当数值极大时，可能会超出常规浮点数的精度范围。
