立方和与立方差因式分解计算器

输入计算

第一项 (a)

第二项 (b)

运算类型 Sum of cubes (a³ + b³) Difference of cubes (a³ − b³)

结果

表达式的数值结果

35

分解结果 (a ± b)(a² ∓ ab + b²)

一次因式 (a ± b)	5
二次三项式因式 (a² ∓ ab + b²)	7
a³	8
b³	27
a²	4
ab	6
b²	9

什么是立方和与立方差？

在代数中，最实用的恒等式当属立方和与立方差这两条公式。它们能把形如 \(a^{3} \pm b^{3}\) 的表达式改写成一个简单的一次因式与一个二次三项式的乘积。本计算器可以对任意一组 a、b 数值执行这两种分解运算，并展示每一个中间步骤，方便你核对自己的解题过程。

公式

这两条恒等式分别为：

立方和：

$$a^{3} + b^{3} = \left(a + b\right)\left(a^{2} - a\,b + b^{2}\right)$$

立方差：

$$a^{3} - b^{3} = \left(a - b\right)\left(a^{2} + a\,b + b^{2}\right)$$

记忆这两条公式有个英文口诀“SOAP”：分解后各项符号依次是 Same（相同）、Opposite（相反）、Always Positive（恒为正）。也就是说，第一个符号与原式相同，中间的符号正好相反，而最后一项永远是正号。

两个立方公式都能分解为一个二项式与一个三项式的乘积。

如何使用本计算器

输入第一项 a 与第二项 b，再选择要做的是立方和还是立方差，计算器就会返回一次因式 \((a \pm b)\)、二次三项式因式 \((a^{2} \mp a\,b + b^{2})\)，以及整个表达式的数值结果。下方的明细表会逐一列出 \(a^{3}\)、\(b^{3}\)、\(a^{2}\)、\(a\,b\) 和 \(b^{2}\) 各项的值。

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例题演示

把 \(8 + 27\) 当作立方和来分解。这里 \(a = 2\)（因为 \(2^{3} = 8\)），\(b = 3\)（因为 \(3^{3} = 27\)）。于是

$$a^{3} + b^{3} = (2 + 3)(2^{2} - 2\cdot 3 + 3^{2}) = (5)(4 - 6 + 9) = 5 \times 7 = 35$$

正好等于 \(8 + 27 = 35\)。其中一次因式为 5，二次三项式因式为 7。

常见问题

二次三项式还能继续分解吗？通常不能——在大多数情况下，二次式 \(a^{2} \mp a\,b + b^{2}\) 在整数范围内是不可再分解的（质式）。

如果 a 或 b 是字母（变量）怎么办？该恒等式在符号运算下同样成立；本工具计算的是具体数值，方便你验证因式分解的正确性。

支持负数或小数吗？支持。a 和 b 可以是任意实数。