Калькулятор разложения суммы и разности кубов

Введите расчет

Первое слагаемое (a)

Второе слагаемое (b)

Операция Sum of cubes (a³ + b³) Difference of cubes (a³ − b³)

Результатов

Числовое значение выражения

35

Разложение на множители: (a ± b)(a² ∓ ab + b²)

Линейный множитель (a ± b)	5
Квадратичный множитель (a² ∓ ab + b²)	7
a³	8
b³	27
a²	4
ab	6
b²	9

Что такое сумма и разность кубов?

Две самые востребованные формулы сокращённого умножения — это сумма кубов и разность кубов. Они позволяют переписать выражение вида \(a^{3} \pm b^{3}\) в виде произведения простого линейного множителя и квадратного трёхчлена. Калькулятор раскладывает на множители любую пару значений a и b для каждой из операций и показывает все промежуточные части, чтобы вы могли проверить собственное решение.

Формулы

Эти две формулы выглядят так:

Сумма кубов:

$$a^{3} + b^{3} = \left(a + b\right)\left(a^{2} - a\,b + b^{2}\right)$$

Разность кубов:

$$a^{3} - b^{3} = \left(a - b\right)\left(a^{2} + a\,b + b^{2}\right)$$

Запомнить знаки помогает простое правило: первый знак совпадает с исходным, средний знак — противоположный, а последнее слагаемое всегда положительное. В англоязычной традиции для этого используют мнемонику «SOAP» (Same — Opposite — Always Positive), но и без неё логика очевидна.

Обе формулы кубов раскладываются на двучлен и трёхчлен.

Как пользоваться калькулятором

Введите первое слагаемое a и второе слагаемое b, выберите, что вы раскладываете — сумму или разность, — и калькулятор вернёт линейный множитель \((a \pm b)\), квадратичный множитель \((a^{2} \mp a\,b + b^{2})\) и числовое значение всего выражения. В таблице разбора по отдельности показаны \(a^{3}\), \(b^{3}\), \(a^{2}\), \(a\,b\) и \(b^{2}\).

Реклама

Разбор примера

Разложим \(8 + 27\) как сумму кубов. Здесь \(a = 2\) (так как \(2^{3} = 8\)) и \(b = 3\) (так как \(3^{3} = 27\)). Тогда

$$a^{3} + b^{3} = \left(2 + 3\right)\left(2^{2} - 2\cdot 3 + 3^{2}\right) = \left(5\right)\left(4 - 6 + 9\right) = 5 \times 7 = 35,$$

что и равно \(8 + 27 = 35\). Линейный множитель равен 5, а квадратичный — 7.

Частые вопросы

Можно ли разложить трёхчлен дальше? Обычно нет — квадратный трёхчлен \(a^{2} \mp a\,b + b^{2}\) в большинстве случаев неразложим над целыми числами.

Что, если a или b — переменная? Формула справедлива и в символьном виде; этот инструмент вычисляет числовые значения, чтобы вы могли проверить разложение.

Работает ли он с отрицательными числами и дробями? Да. Для a и b принимаются любые действительные числа.