Что такое калькулятор делителей?
Этот инструмент берёт любое целое число и выдаёт о нём всё, что касается делимости: полный список положительных делителей, все пары множителей, разложение на простые множители и ответ на вопрос — простое это число или составное. Разложение на множители — базовый навык в арифметике, алгебре и теории чисел, и наш калькулятор мгновенно проделывает за вас перебор делителей.
Как пользоваться
Введите целое число в поле «Найти делители числа:» и нажмите кнопку. Отрицательные числа тоже принимаются — калькулятор раскладывает их по модулю, ведь делители по умолчанию считаются положительными. Дробные значения округляются до ближайшего целого. В блоке результатов первой строкой выводится разложение на простые множители, а ниже — количество делителей, полный их список и пары множителей.
Как это работает
Чтобы найти все делители числа \(N\), достаточно проверить возможные делители только до квадратного корня из \(N\). Если какое-то число \(i\) делит \(N\) нацело, то делителями сразу оказываются и \(i\), и \(N/i\). Это гораздо быстрее, чем перебирать все числа вплоть до \(N\). Для этого проверяем все \(i\) такие, что $$i \le \lfloor \sqrt{N} \rfloor$$ Для разложения на простые множители мы раз за разом делим число на наименьшее простое (сначала 2, потом 3, 5, 7, ...), пока не останется 1, и записываем каждый простой множитель вместе с тем, сколько раз он встречается, — это и есть его показатель степени:
$$N = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times \cdots \times p_k^{a_k}$$
Разбираем на примере: число 21
Квадратный корень из 21 — примерно 4,58, поэтому проверяем 1, 2, 3 и 4. Получаем \(21 = 1 \times 21\) и \(21 = 3 \times 7\), а значит делители — это 1, 3, 7, 21 (всего четыре) и пары (1, 21) и (3, 7). Разделив 21 на 3, получаем 7 — простое число, поэтому $$21 = 3 \times 7$$ Поскольку у числа больше двух делителей, оно составное.
Частые вопросы
Единица — простое число или составное? Ни то ни другое. По определению у простого числа ровно два различных делителя, а у единицы он только один, поэтому её относят к так называемым «единицам».
А как же ноль? На ноль делится любое целое число, поэтому раскладывать его на множители бессмысленно — он не считается ни простым, ни составным.
Почему у полных квадратов нечётное число делителей? Потому что квадратный корень образует пару сам с собой (например, для 36 это пара (6, 6)), и такой делитель учитывается один раз, а не дважды.
