Калькулятор решения квадратных уравнений разложением на множители

Введите расчет

Коэффициент a

Коэффициент b

Коэффициент c

Результатов

Корни квадратного уравнения

x₁ = 3, x₂ = 2

two distinct real roots

Discriminant (b² - 4ac)	1
Корень 1	3
Корень 2	2

Что умеет этот калькулятор

Этот инструмент решает любое квадратное уравнение, записанное в стандартном виде \(ax^2 + bx + c = 0\), находя два значения x, при которых равенство выполняется. Когда квадратное уравнение раскладывается на множители в целых числах, его можно записать как \(a(x - r_1)(x - r_2) = 0\), и каждый множитель, приравненный к нулю, даёт корень. Но даже если красивых целых множителей нет, калькулятор всё равно найдёт корни — с помощью равносильной формулы корней квадратного уравнения.

Как пользоваться

Введите три коэффициента a, b и c из вашего уравнения. Например, у уравнения \(x^2 - 5x + 6 = 0\) коэффициенты равны \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 6\). Нажмите «Рассчитать», чтобы увидеть оба корня, дискриминант и характер решения. Если \(a = 0\), уравнение становится линейным, а не квадратным, и возвращается один корень.

Разбор формулы

Корни вычисляются по формуле $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.$$ Выражение под знаком корня, \(\Delta = b^2 - 4ac\), называется дискриминантом. Если \(\Delta > 0\) — есть два различных действительных корня; если \(\Delta = 0\) — один (двукратный) корень; если \(\Delta < 0\) — корни являются парой комплексно-сопряжённых чисел.

Реклама

Разложение на множители представляет квадратное выражение как произведение двух двучленов, каждый из которых даёт корень.

Пример решения

Для уравнения \(x^2 - 5x + 6 = 0\): $$\Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1.$$ Корни $$= \frac{5 \pm 1}{2} = 3 \text{ и } 2.$$ Это уравнение красиво раскладывается на множители: \((x - 3)(x - 2) = 0\), что подтверждает корни 3 и 2.

Корни — это точки, где парабола пересекает ось x.

Частые вопросы

Что делать, если уравнение не раскладывается на «красивые» множители? Калькулятор всё равно выдаст точные десятичные корни по формуле квадратного уравнения — она работает даже тогда, когда целых множителей не существует.

Что происходит при отрицательном дискриминанте? Корни получаются комплексными; инструмент представляет их в виде действительной части \(\pm\) мнимая часть, умноженная на i.

Может ли a быть равным нулю? Если \(a = 0\), уравнение становится линейным (\(bx + c = 0\)), и калькулятор возвращает единственный корень \(-c/b\).