Решение уравнения b^x = c относительно x

Введите расчет

Основание (b)

Результат (c)

Результатов

Решение для x

x = 3

where b^x = c

x = ln(c) / ln(b)	3
Verification: bx	8

Что делает этот калькулятор

Этот инструмент решает показательное уравнение \(b^x = c\) относительно неизвестного показателя степени \(x\). Когда искомая переменная стоит в показателе, выразить её обычными алгебраическими преобразованиями не получится — нужно прологарифмировать обе части равенства. В итоге получается готовая формула \(x = \frac{\ln(c)}{\ln(b)}\), которая работает для любого положительного основания \(b\) (не равного 1) и любого положительного \(c\).

Как пользоваться

Введите основание \(b\) (например, 2, 10 или \(e \approx 2{,}71828\)) и искомое значение \(c\). Калькулятор выдаст показатель \(x\) и строку проверки со значением \(b^x\) — оно должно совпасть с вашим \(c\). Оба числа, \(b\) и \(c\), должны быть положительными: степень положительного основания всегда положительна. При этом \(b\) не может равняться 1, ведь уравнение \(1^x = c\) не имеет единственного решения.

Разбор формулы

Начнём с равенства \(b^x = c\). Прологарифмируем обе части по натуральному логарифму: \(\ln(b^x) = \ln(c)\). По свойству логарифма степени показатель выносится множителем вперёд: \(x \cdot \ln(b) = \ln(c)\). Делим обе части на \(\ln(b)\) и получаем $$x = \frac{\ln(c)}{\ln(b)}.$$ Можно взять десятичный логарифм или логарифм по любому другому основанию — результат будет тем же, потому что основание сокращается в отношении (это и есть формула перехода к новому основанию).

Реклама

Взятие натурального логарифма обеих частей выделяет показатель \(x\).

Пример с решением

Решим \(2^x = 8\). Тогда $$x = \frac{\ln(8)}{\ln(2)} = \frac{2{,}0794}{0{,}6931} = 3.$$ И действительно, \(2^3 = 8\). ✓ Ещё пример: для \(10^x = 1000\) получаем \(x = \frac{\ln(1000)}{\ln(10)} = 3\), ведь \(10^3 = 1000\).

Решение \(x\) — там, где кривая \(b^x\) достигает целевого значения \(c\).

Частые вопросы

Может ли \(x\) быть отрицательным или дробным? Да. Если \(c\) находится между 0 и 1 (при \(b > 1\)), то \(x\) отрицателен; нецелые ответы тоже совершенно нормальны — например, \(2^x = 5\) даёт \(x \approx 2{,}3219\).

Почему \(c\) должно быть положительным? Выражение \(b^x\) при положительном основании всегда положительно, поэтому не существует действительного \(x\), при котором оно обратилось бы в ноль или стало отрицательным.

А если основание равно \(e\)? Тогда \(x = \ln(c)\) напрямую, ведь \(\ln(b) = \ln(e) = 1\).