이 계산기의 기능
이 도구는 지수방정식 bx = c를 미지수 지수 x에 대해 풀어 줍니다. 찾으려는 변수가 지수 자리에 있을 때는 일반적인 대수 연산만으로는 x를 분리할 수 없으므로, 양변에 로그를 취해야 합니다. 그 결과 닫힌 형태의 해 \(x = \ln(c) / \ln(b)\)를 얻게 되며, 이는 1이 아닌 임의의 양수 밑 b와 임의의 양수 c에 대해 성립합니다.
사용 방법
밑 b(예: 2, 10, 또는 e ≈ 2.71828)와 목표값 c를 입력하세요. 계산기는 지수 x와 함께 bx 값을 보여 주는 검산 행을 반환하는데, 이 값은 입력한 c와 일치해야 합니다. 양수 밑의 지수는 항상 양수이므로 b와 c는 모두 양수여야 하며, b는 1이 될 수 없습니다(방정식 1x = c는 유일한 해를 갖지 않기 때문입니다).
공식 풀이
\(b^x = c\)에서 시작합니다. 양변에 자연로그를 취하면 \(\ln(b^x) = \ln(c)\)가 됩니다. 로그의 거듭제곱 법칙에 따라 지수를 앞으로 끌어내면 \(x \cdot \ln(b) = \ln(c)\)가 되고, 양변을 \(\ln(b)\)로 나누면 다음을 얻습니다.
$$x = \log_{\text{Base } b} \text{Result } c = \frac{\ln \text{Result } c}{\ln \text{Base } b}$$상용로그(밑 10)나 다른 어떤 밑을 사용해도 같은 값이 나오는데, 비율 안에서 밑이 서로 상쇄되기 때문입니다(밑 변환 공식).
풀이 예제
\(2^x = 8\)을 풀어 봅시다. 그러면 다음과 같습니다.
$$x = \frac{\ln(8)}{\ln(2)} = \frac{2.0794}{0.6931} = 3$$실제로 \(2^3 = 8\)이 맞습니다. ✓ 또 다른 예로 \(10^x = 1000\)은 \(x = \ln(1000)/\ln(10) = 3\)이 되며, \(10^3 = 1000\)이기 때문입니다.
자주 묻는 질문
x가 음수나 분수가 될 수 있나요? 네. c가 0과 1 사이이고 b > 1이면 x는 음수가 됩니다. 정수가 아닌 답도 전혀 문제없습니다. 예를 들어 \(2^x = 5\)는 \(x \approx 2.3219\)가 나옵니다.
c는 왜 양수여야 하나요? 양수 밑에 대한 bx는 항상 양수이므로, 이를 0이나 음수로 만드는 실수 x는 존재하지 않습니다.
밑이 e이면 어떻게 되나요? 이 경우 \(\ln(b) = \ln(e) = 1\)이므로 \(x = \ln(c)\)가 곧바로 답이 됩니다.
