Résoudre b^x = c en x

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Base (b)

Résultat (c)

Résultats

Solution pour x

x = 3

where b^x = c

x = ln(c) / ln(b)	3
Verification: bx	8

À quoi sert cette calculatrice

Cet outil résout l'équation exponentielle \(b^x = c\) afin de déterminer l'exposant inconnu \(x\). Lorsque l'inconnue recherchée se trouve en exposant, impossible de l'isoler avec l'algèbre classique : il faut appliquer un logarithme aux deux membres. On obtient alors la solution exacte $$x = \frac{\ln(c)}{\ln(b)}$$ valable pour toute base \(b\) positive (différente de 1) et tout \(c\) positif.

Comment l'utiliser

Saisissez la base \(b\) (par exemple 2, 10 ou \(e \approx 2{,}71828\)) ainsi que la valeur cible \(c\). La calculatrice affiche l'exposant \(x\), accompagné d'une ligne de vérification montrant \(b^x\), qui doit bien redonner votre valeur de \(c\). Les deux nombres \(b\) et \(c\) doivent être positifs, car l'exponentielle d'une base positive est toujours positive, et \(b\) ne peut pas valoir 1 (l'équation \(1^x = c\) n'a pas de solution unique).

La formule expliquée

Partons de \(b^x = c\). Appliquons le logarithme népérien aux deux membres : \(\ln(b^x) = \ln(c)\). La règle de la puissance des logarithmes fait descendre l'exposant devant : \(x \cdot \ln(b) = \ln(c)\). En divisant les deux membres par \(\ln(b)\), on obtient $$x = \frac{\ln(c)}{\ln(b)}$$ Vous pourriez utiliser le logarithme décimal (base 10) ou n'importe quelle autre base et trouver le même résultat : la base se simplifie dans le rapport (c'est la formule de changement de base).

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Prendre le logarithme naturel des deux côtés isole l'exposant \(x\).

Exemple résolu

Résolvons \(2^x = 8\). On a alors $$x = \frac{\ln(8)}{\ln(2)} = \frac{2{,}0794}{0{,}6931} = 3$$ Effectivement, \(2^3 = 8\). ✓ Autre exemple : \(10^x = 1000\) donne \(x = \frac{\ln(1000)}{\ln(10)} = 3\), puisque \(10^3 = 1000\).

La solution \(x\) est là où la courbe \(b^x\) atteint la valeur cible \(c\).

FAQ

\(x\) peut-il être négatif ou fractionnaire ? Oui. Si \(c\) est compris entre 0 et 1 (avec \(b > 1\)), \(x\) est négatif ; les résultats non entiers sont parfaitement valables, par exemple \(2^x = 5\) donne \(x \approx 2{,}3219\).

Pourquoi \(c\) doit-il être positif ? \(b^x\) est toujours positif pour une base positive : aucun \(x\) réel ne peut donc le rendre nul ou négatif.

Et si la base vaut \(e\) ? Dans ce cas, \(x = \ln(c)\) directement, puisque \(\ln(b) = \ln(e) = 1\).