Ce que fait ce calculateur
Cet outil résout l'équation exponentielle \(b^x = a\) en cherchant l'exposant inconnu \(x\). À partir d'une base \(b\) et d'une valeur cible \(a\), il indique la puissance à laquelle il faut élever \(b\) pour obtenir \(a\). C'est précisément la définition d'un logarithme : \(x = \log_{b}(a)\).
Comment l'utiliser
Saisissez la base \(b\) (n'importe quel nombre positif différent de 1) et la valeur résultat \(a\) (n'importe quel nombre positif). Le calculateur détermine \(x\) instantanément et affiche une vérification en élevant à nouveau la base à la puissance trouvée.
La formule expliquée
Partons de \(b^x = a\). Appliquons le logarithme népérien aux deux membres : \(\ln(b^x) = \ln(a)\). D'après la règle de la puissance, \(x\cdot\ln(b) = \ln(a)\) ; en divisant par \(\ln(b)\), on obtient $$x = \frac{\ln(a)}{\ln(b)}.$$ Il s'agit de la formule de changement de base, qui équivaut à \(\log_{b}(a)\). Vous pourriez choisir n'importe quelle base de logarithme (népérien, base 10) et arriver au même résultat, puisque les bases s'annulent dans le rapport.
Exemple résolu
Résolvons \(2^x = 8\). On calcule $$x = \frac{\ln(8)}{\ln(2)} = \frac{2{,}0794}{0{,}6931} = 3.$$ Vérification : \(2^3 = 8\). Exact. Autre exemple : résolvons \(10^x = 1000\), ce qui donne \(x = \frac{\ln(1000)}{\ln(10)} = 3\).
FAQ
Pourquoi la base doit-elle être positive et différente de 1 ? Le logarithme n'est pas défini pour des bases négatives ou nulles, et une base égale à 1 donne \(\ln(1) = 0\), ce qui entraîne une division par zéro (\(1^x\) vaut toujours 1).
La valeur a peut-elle être inférieure à la base ? Oui. Si \(a\) est compris entre 0 et 1, ou plus petit que \(b\), l'exposant \(x\) sera tout simplement une fraction ou un nombre négatif.
Le choix du logarithme a-t-il une importance ? Non. Logarithme népérien, décimal ou de n'importe quelle base : tous donnent le même \(x\), car ils apparaissent sous forme de rapport.
