Qué hace esta calculadora
Esta herramienta resuelve la ecuación exponencial \(b^x = a\) y despeja el exponente desconocido \(x\). A partir de una base \(b\) y un valor objetivo \(a\), devuelve la potencia a la que hay que elevar \(b\) para obtener \(a\). Eso es precisamente la definición de logaritmo: \(x = \log_b(a)\).
Cómo usarla
Introduce la base \(b\) (cualquier número positivo distinto de 1) y el valor resultante \(a\) (cualquier número positivo). La calculadora obtiene \(x\) al instante y muestra una comprobación volviendo a elevar la base al exponente calculado.
La fórmula, paso a paso
Partimos de \(b^x = a\). Aplicamos el logaritmo natural a ambos lados: \(\ln(b^x) = \ln(a)\). Por la regla de la potencia, \(x\cdot\ln(b) = \ln(a)\); al dividir entre \(\ln(b)\) obtenemos $$x = \frac{\ln(a)}{\ln(b)}.$$ Esta es la fórmula del cambio de base y equivale a \(\log_b(a)\). Puedes usar cualquier base de logaritmo (logaritmo natural, logaritmo en base 10) y el resultado será el mismo, porque las bases se cancelan en el cociente.
Ejemplo resuelto
Resolvamos \(2^x = 8\). Calculamos $$x = \frac{\ln(8)}{\ln(2)} = \frac{2{,}0794}{0{,}6931} = 3.$$ Comprobación: \(2^3 = 8\). Correcto. Otro caso: resolver \(10^x = 1000\) da \(x = \frac{\ln(1000)}{\ln(10)} = 3\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué la base debe ser positiva y distinta de 1? El logaritmo no está definido para bases no positivas, y una base igual a 1 da \(\ln(1) = 0\), lo que provoca una división entre cero (\(1^x\) siempre vale 1).
¿Puede ser a menor que la base? Sí. Si \(a\) está entre 0 y 1, o es menor que \(b\), el exponente \(x\) será simplemente una fracción o un número negativo.
¿Importa qué logaritmo elija? No. El logaritmo natural, el decimal o cualquier otra base dan el mismo \(x\), porque aparecen como un cociente.
