解 b^x = a 求未知指數 x 計算器

輸入計算

底數 (b)

結果值 (a)

結果

Exponent x where b^x = a

3

x = ln(a) / ln(b)

求得的指數 (x)	3
驗算 (b^x)	8

這個計算器的功能

本工具用來求解指數方程 \(b^x = a\) 中的未知指數 \(x\)。只要給定底數 \(b\) 與目標值 \(a\)，它就會算出「把 \(b\) 提升到幾次方才會等於 \(a\)」。這正是對數的定義：$$x = \log_b(a)$$

使用方法

輸入底數 \(b\)（任何不等於 1 的正數）與結果值 \(a\)（任何正數），計算器會立即算出 \(x\)，並把底數重新提升到求得的次方，幫你驗算結果是否正確。

公式解析

從 \(b^x = a\) 開始，兩邊同時取自然對數：\(\ln(b^x) = \ln(a)\)。再運用對數的冪次法則，可得 \(x \cdot \ln(b) = \ln(a)\)，兩邊同除以 \(\ln(b)\)，便得到 $$x = \frac{\ln(a)}{\ln(b)}$$ 這就是「換底公式」，其值等同於 \(\log_b(a)\)。你也可以改用任何底數的對數（自然對數、常用對數以 10 為底等），答案都一樣，因為在這個比值中，分子與分母的底會相互抵消。

對兩邊取對數即可分離出指數：\(x = \frac{\ln(a)}{\ln(b)}\)。

範例演算

求解 \(2^x = 8\)。計算 $$x = \frac{\ln(8)}{\ln(2)} = \frac{2.0794}{0.6931} = 3$$ 驗算：\(2^3 = 8\)，正確。再看一例：求解 \(10^x = 1000\)，得 \(x = \frac{\ln(1000)}{\ln(10)} = 3\)。

從圖形上看，解 \(x\) 就是曲線 \(y = b^x\) 達到高度 \(a\) 的位置。

常見問題

為什麼底數必須是正數而且不能等於 1？對數在底數為非正數時沒有定義；而底數若為 1，則 \(\ln(1) = 0\)，會造成除以零的問題（況且 \(1^x\) 永遠等於 1）。

a 可以比底數還小嗎？可以。如果 \(a\) 介於 0 與 1 之間，或小於 \(b\)，算出的指數 \(x\) 只會是分數或負數而已。

選用哪一種對數會有差別嗎？不會。自然對數、常用對數或任何底數的對數都會得到相同的 \(x\)，因為它們是以比值的形式出現，底會自動抵消。