數字根與數位和計算機

輸入計算

請輸入一個整數

結果

數字根

6

反覆相加後的個位數結果

數位和	15
位數	5

什麼是數位和與數字根？

一個數的數位和，就是把它每一位數字全部相加後得到的總和。數字根則更進一步：不斷重複相加各位數字，直到只剩下一個個位數（1 到 9）為止。這個計算機可以針對任意整數，一次幫你算出這兩個結果。

反覆將各位數字相加直到只剩一位，即得數字根。

如何使用

在欄位中輸入任何整數後送出，計算機會把數字根以醒目的方式顯示出來，並同時給出一次相加後的數位和，以及位數的數量。逗號等分隔符號都會被自動忽略，所以你可以放心直接貼上很大的數字。

公式解析

求數字根最笨的方法，是反覆把各位數字相加。比較快的方式則運用同餘運算：對任意正整數 n 來說，數字根等於 \(1 + (n - 1) \bmod 9\)。之所以成立，是因為一個數和它的數位和除以 9 時，餘數永遠相同。數字根為 9 代表這個數可以被 9 整除；而數字根為 0 只會出現在數字 0 本身。

$$\begin{gathered} S = \sum_{i=1}^{k} d_i, \qquad DR = \begin{cases} 0 & S = 0 \\ 1 + \left((S - 1) \bmod 9\right) & S > 0 \end{cases} \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} d_i &= \text{the } i\text{-th digit of } \text{Number} \\ k &= \text{digit count of } \text{Number} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$

數字根在 1 到 9 之間循環，符合 \(1 + (n-1) \bmod 9\)。

實際範例

以 12345 為例。數位和是 \(1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15\)。再加一次，\(1 + 5 = 6\)，所以數字根是 6。若用公式套在數位和上：$$1 + (15 - 1) \bmod 9 = 1 + (14 \bmod 9) = 1 + 5 = 6$$兩種方法結果一致。

常見問題

9 的倍數的數字根是多少？永遠都是 9（0 本身除外）。

數位和和數字根是同一回事嗎？不一定。數位和只做一次相加；數字根則會持續相加，直到剩下一個個位數為止。當數字小於 10 時，兩者會相等。

數字根有什麼用？它是檢驗能否被 3 或 9 整除的快速方法，也是傳統「棄九法」用來驗算算術結果的核心原理。