자릿수 합과 디지털 루트란?
어떤 수의 자릿수 합이란 그 수를 이루는 각 자리의 숫자를 모두 더한 값을 말합니다. 디지털 루트는 여기서 한 걸음 더 나아갑니다. 결과가 한 자리 숫자(1부터 9까지)가 될 때까지 자릿수 더하기를 반복하는 것이죠. 이 계산기는 어떤 정수에 대해서든 두 값을 한 번에 알려줍니다.
사용 방법
입력란에 원하는 정수를 입력하고 실행하면 됩니다. 계산기는 디지털 루트를 대표 결과로 보여주고, 여기에 한 번 더한 자릿수 합과 전체 자릿수 개수까지 함께 제공합니다. 쉼표나 기타 구분 기호는 자동으로 무시되므로, 큰 숫자도 그대로 붙여넣을 수 있습니다.
공식 풀이
디지털 루트를 구하는 느린 방법은 자릿수를 계속 반복해서 더하는 것입니다. 빠른 방법은 나머지(모듈러) 연산을 이용합니다. 임의의 양의 정수 \(n\)에 대해 디지털 루트는 \(1 + (n - 1) \bmod 9\)와 같습니다. 이는 어떤 수와 그 자릿수 합이 9로 나눴을 때 항상 같은 나머지를 갖기 때문에 성립합니다. 디지털 루트가 9이면 그 수는 9로 나누어떨어진다는 뜻이고, 디지털 루트가 0인 경우는 숫자 0 자체일 때뿐입니다.
$$ S = \sum_{i=1}^{k} d_i, \qquad DR = \begin{cases} 0 & S = 0 \\ 1 + \left((S - 1) \bmod 9\right) & S > 0 \end{cases} $$
$$ \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} d_i &= \text{the } i\text{-th digit of } \text{Number} \\ k &= \text{digit count of } \text{Number} \end{aligned} \right. $$
예제로 살펴보기
12345를 예로 들어보겠습니다. 자릿수 합은 \(1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15\)입니다. 여기서 다시 더하면 \(1 + 5 = 6\)이므로 디지털 루트는 6이 됩니다. 자릿수 합에 공식을 적용해도 마찬가지입니다.
$$ 1 + (15 - 1) \bmod 9 = 1 + (14 \bmod 9) = 1 + 5 = 6 $$
두 방법의 결과가 일치하는 것을 확인할 수 있습니다.
자주 묻는 질문
9의 배수의 디지털 루트는 무엇인가요? 0을 제외하면 항상 9입니다.
자릿수 합과 디지털 루트는 같은 건가요? 항상 그렇지는 않습니다. 자릿수 합은 한 번만 더한 값이고, 디지털 루트는 한 자리 숫자가 남을 때까지 반복해서 더한 값입니다. 10보다 작은 수에서는 두 값이 같습니다.
디지털 루트는 어디에 쓰이나요? 3과 9로 나누어떨어지는지 빠르게 확인하는 데 유용하며, 계산 검산법으로 잘 알려진 "9 버리기(casting out nines)" 기법의 기초가 됩니다.
