등차수열의 일반항 공식이란?
등차수열은 각 항이 일정한 값만큼 커지거나 작아지는 수열입니다. 이 일정한 값을 공차 \(d\)라고 부릅니다. 일반항 공식을 이용하면 앞의 항을 하나씩 나열하지 않고도 원하는 항을 바로 구할 수 있습니다. 첫째항 \(a_1\)과 공차 \(d\)가 주어졌을 때, 제n항은 다음과 같습니다.
$$a_n = a_1 + (n - 1)\cdot d$$
계산기 사용법
세 가지 값을 입력하면 됩니다. 첫째항(\(a_1\)), 공차(\(d\)), 그리고 구하고 싶은 항의 위치(\(n\))입니다. 입력하는 즉시 제n항(\(a_n\))이 계산되며, 편의를 위해 첫 n개 항의 합(\(S_n\))도 함께 보여줍니다. \(a_1\)과 \(d\)는 음수나 소수도 가능하지만, \(n\)은 1 이상의 자연수여야 합니다.
공식 자세히 보기
"\((n - 1)\)"이 중요한 이유는 첫째항 자체가 이미 1번째 위치를 차지하기 때문입니다. 즉, 첫째항 이후의 단계마다 공차를 더해 나가게 됩니다. 그래서 제5항에 도달하려면 \(a_1\)에 \(d\)를 네 번 더해야 합니다. 이것이 바로 \(n\)이 아니라 \((n - 1)\)을 사용하는 이유입니다.
예제 풀이
\(a_1 = 2\), \(d = 3\)이라고 가정해 봅시다. 제10항을 구하면 $$a_{10} = 2 + (10 - 1)\cdot 3 = 2 + 9\cdot 3 = 2 + 27 = 29$$ 입니다. 첫 10개 항의 합은 $$S_{10} = \frac{10}{2}\left(2\cdot 2 + 9\cdot 3\right) = 5\cdot(4 + 27) = 5\cdot 31 = 155$$ 가 됩니다.
자주 묻는 질문
공차가 음수이면 어떻게 되나요? 공차 \(d\)가 음수이면 수열이 점점 작아진다는 뜻일 뿐입니다. 공식은 똑같이 그대로 적용됩니다.
n이 분수일 수도 있나요? 아니요. 수열의 항은 정수로 세기 때문에, 항의 번호 \(n\)은 반드시 양의 정수여야 합니다.
일반항(명시적) 공식과 점화식의 차이는 무엇인가요? 점화식(\(a_n = a_{n-1} + d\))은 바로 앞 항을 알아야 계산할 수 있지만, 일반항 공식은 \(a_1\), \(d\), \(n\)만으로 어떤 항이든 곧바로 구할 수 있습니다.
