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सूत्र (फॉर्मूला)

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Sum of First n Terms

Sum of the first n terms of the sequence

परिणाम

Term a₁₀

nवें पद का मान

व्यापक सूत्र	a_n = 2 + (n − 1)·3
nth term (a_n)	29
पहले n पदों का योग	155

समांतर श्रेणी का व्यापक सूत्र क्या है?

समांतर श्रेणी (Arithmetic Sequence) संख्याओं की ऐसी सूची होती है जिसमें हर पद एक निश्चित मात्रा से बढ़ता (या घटता) है। इस निश्चित मात्रा को सार्व अंतर $d$ कहते हैं। व्यापक सूत्र की मदद से आप बीच के सारे पद लिखे बिना सीधे किसी भी पद तक पहुँच सकते हैं। यदि पहला पद $a_1$ और सार्व अंतर $d$ दिया हो, तो nवाँ पद इस प्रकार होता है:

$$a_n = a_1 + (n - 1)\cdot d$$

संख्या रेखा पर बिंदु जो d से चिह्नित समान अंतराल वाली समांतर श्रेणी दर्शाते हैं — समांतर श्रेणी का प्रत्येक पद समान सार्व अंतर d से बढ़ता है।

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

तीन मान दर्ज करें: पहला पद $a_1$, सार्व अंतर $d$, और जिस पद की आपको ज़रूरत है उसकी स्थिति $n$। कैलकुलेटर तुरंत $a_n$ का मान दिखा देता है, और सुविधा के लिए पहले n पदों का योग $S_n$ भी बता देता है। $a_1$ और $d$ दोनों ऋणात्मक या दशमलव हो सकते हैं; जबकि $n$ कम से कम 1 वाली पूर्ण संख्या होनी चाहिए।

सूत्र की व्याख्या

यहाँ "(n − 1)" वाला भाग बेहद ज़रूरी है, क्योंकि पहला पद खुद ही स्थिति 1 पर गिना जाता है — पहले पद के बाद ही हर कदम पर सार्व अंतर जोड़ा जाता है। इसलिए 5वें पद तक पहुँचने के लिए $a_1$ में $d$ को चार बार जोड़ना पड़ता है। यही वजह है कि हम $n$ के बजाय $(n - 1)$ का उपयोग करते हैं।

आरेख जो स्पष्ट सूत्र को पहले पद और चरणों की संख्या गुणा d में विभाजित करता है — n-वाँ पद पहले पद और d आकार के (n−1) चरणों के योग के बराबर होता है।

हल किया गया उदाहरण

मान लीजिए $a_1 = 2$ और $d = 3$ है। 10वाँ पद ज्ञात करने के लिए: $$a_{10} = 2 + (10 - 1)\cdot 3 = 2 + 9\cdot 3 = 2 + 27 = 29$$ पहले 10 पदों का योग होगा $$S_{10} = \frac{10}{2}(2\cdot 2 + 9\cdot 3) = 5\cdot(4 + 27) = 5\cdot 31 = 155$$

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

अगर सार्व अंतर ऋणात्मक हो तो क्या होगा? ऋणात्मक $d$ का सीधा मतलब है कि श्रेणी घटती जाती है। सूत्र बिल्कुल उसी तरह काम करता है।

क्या n भिन्न (fraction) हो सकता है? नहीं। पद संख्या $n$ एक धनात्मक पूर्ण संख्या ही होनी चाहिए, क्योंकि श्रेणी के पद पूर्णांकों में ही गिने जाते हैं।

व्यापक और पुनरावृत्ति सूत्र में क्या अंतर है? पुनरावृत्ति रूप $(a_n = a_{n-1} + d)$ के लिए पिछले पद का पता होना ज़रूरी है, जबकि व्यापक रूप $a_1$, $d$ और $n$ से सीधे कोई भी पद बता देता है।

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