等差数列の一般項とは？
等差数列とは、各項が一定の値ずつ増えたり減ったりする数の並びのことです。この一定の差を公差といい、記号 \(d\) で表します。一般項の公式を使えば、前の項を一つずつ書き出さなくても、いきなり任意の項を求めることができます。初項 \(a_1\) と公差 \(d\) がわかっていれば、第n項は次の式で計算できます。
$$a_n = a_1 + (n - 1)\cdot d$$
この計算ツールの使い方
入力する値は3つです。初項（\(a_1\)）、公差（\(d\)）、そして求めたい項の位置（\(n\)）を入れてください。ツールはすぐに \(a_n\) を返し、あわせて初項から第n項までの和（\(S_n\)）も表示します。\(a_1\) と \(d\) はマイナスや小数でも構いませんが、\(n\) は1以上の整数である必要があります。
公式のしくみ
「\((n - 1)\)」という部分がポイントです。初項そのものがすでに「第1項」として数えられているため、公差を足すのは初項より後のステップ分だけになります。つまり第5項にたどり着くには、\(a_1\) に公差 \(d\) を4回足すことになります。これが、\(n\) ではなく \((n - 1)\) を使う理由です。
計算例
たとえば \(a_1 = 2\)、\(d = 3\) のとき、第10項を求めてみましょう。$$a_{10} = 2 + (10 - 1)\cdot 3 = 2 + 9\cdot 3 = 2 + 27 = 29$$ となります。また、初項から第10項までの和は $$S_{10} = \frac{10}{2}(2\cdot 2 + 9\cdot 3) = 5\cdot(4 + 27) = 5\cdot 31 = 155$$ です。
よくある質問
公差がマイナスのときはどうなりますか？ 公差 \(d\) がマイナスの場合は、数列が減少していくだけで、公式はまったく同じように使えます。
n に分数を使えますか？ いいえ。項の位置を表す \(n\) は正の整数でなければなりません。数列の項は整数で数えるためです。
一般項（明示的な式）と漸化式の違いは？ 漸化式（\(a_n = a_{n-1} + d\)）は前の項がわからないと計算できませんが、一般項の式なら \(a_1\)・\(d\)・\(n\) の3つから任意の項を直接求められます。
