数学公式

Show calculation steps (1)

结果

Term a₁₀

第 n 项的值

等差数列的通项公式是什么？

等差数列是一组数字，其中每一项都比前一项增加（或减少）一个固定的数值，这个数值叫做公差 $d$。有了通项公式，你不必逐项列出前面所有的数，就能直接求出任意一项。已知首项 $a_1$ 和公差 $d$，第 $n$ 项的计算公式为：

$$a_n = a_1 + (n - 1)\cdot d$$

如何使用本计算器

只需输入三个数值：首项（$a_1$）、公差（$d$），以及你想求的项的位置（$n$）。计算器会立即给出 $a_n$，并顺便算出前 $n$ 项之和（$S_n$），方便你查看。$a_1$ 和 $d$ 都可以是负数或小数；$n$ 则必须是不小于 1 的整数。

公式中的「$(n - 1)$」非常关键，因为首项本身已经算作第 1 项——只有从第一项之后，每往前走一步才需要加一个公差。所以要算到第 5 项，就是在 $a_1$ 的基础上加 4 次公差。这正是我们用 $(n - 1)$ 而不是 $n$ 的原因。

假设 $a_1 = 2$，$d = 3$。要求第 10 项：

$$a_{10} = 2 + (10 - 1)\cdot 3 = 2 + 9\cdot 3 = 2 + 27 = 29$$

而前 10 项之和为

$$S_{10} = \frac{10}{2}(2\cdot 2 + 9\cdot 3) = 5\cdot(4 + 27) = 5\cdot 31 = 155$$

如果公差是负数怎么办？ 公差为负只是表示数列在递减，公式的用法完全一样。

n 可以是分数吗？ 不可以。项数 $n$ 必须是正整数，因为数列的项是用整数来计数的。

通项公式和递推公式有什么区别？ 递推公式（$a_n = a_{n-1} + d$）需要先知道前一项，而通项公式则可以直接通过 $a_1$、$d$ 和 $n$ 求出任意一项。