什么是皮尔逊相关系数？
皮尔逊相关系数（记作 \(r\)）用来衡量两个数值变量之间呈直线（线性）变化的紧密程度，取值始终在 -1 到 +1 之间。当 \(r\) 接近 +1 时，说明两个变量同涨同跌；接近 -1 时，说明一个变量上升、另一个随之下降；接近 0 则表示几乎没有线性关系。这个指标是通用的——任何成对的数值数据、任何领域都可以使用。
如何使用本计算器
分别输入你的 X 值和 Y 值，数值之间用逗号或空格隔开。每一个 X 都要和同一位置的 Y 配对，因此两组数据的个数必须相同。点击「计算」即可得到 \(r\)，以及决定系数（\(r^2\)）、最小二乘回归的斜率和截距，还有协方差。
公式解析
对每一个数据点，先算出 x 与其均值的偏差（\(x - \bar{x}\)）以及 y 与其均值的偏差（\(y - \bar{y}\)）。分子是这些偏差乘积之和；分母则是两个变量各自偏差平方和乘积的平方根。这样相除后结果被「标准化」，既不带单位，又被限定在 -1 到 +1 之间。
$$r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \, \sum (y_i - \bar{y})^2}}$$
实例演算
设 X = 1, 2, 3, 4, 5，Y = 2, 4, 5, 4, 5。两组均值分别为 \(\bar{x} = 3\)、\(\bar{y} = 4\)。交叉乘积之和 \(\sum (x - \bar{x})(y - \bar{y}) = 6\)，\(\sum (x - \bar{x})^2 = 10\)，\(\sum (y - \bar{y})^2 = 6\)。于是
$$r = \frac{6}{\sqrt{10 \times 6}} = \frac{6}{\sqrt{60}} \approx 0.7746$$表明两者存在较强的正向线性关系。
常见问题
\(r^2\) 能告诉我什么？\(r^2\) 就是 \(r\) 的平方，表示 Y 的变异中可由它与 X 的线性关系解释的比例。当 \(r = 0.7746\) 时，\(r^2 \approx 0.6\)，即大约 60% 的变异可被解释。
相关是否就等于因果？不是。较高的 \(r\) 只说明两个变量同步变动，并不能证明其中一个导致了另一个。
如果 \(r\) 恰好等于 0 呢？说明两者没有线性关联，但它们之间仍可能存在非线性关系，而这是皮尔逊 \(r\) 无法捕捉的。
