Что такое коэффициент корреляции Пирсона?
Коэффициент корреляции Пирсона, который обозначают буквой r, показывает, насколько тесно две числовые переменные связаны линейной (прямолинейной) зависимостью. Его значение всегда лежит в пределах от −1 до +1. Значение около +1 говорит о том, что переменные растут вместе, около −1 — что одна растёт, когда другая убывает, а около 0 — что линейной связи практически нет. Инструмент универсален: он подходит для любых парных числовых данных в любой области — от экономики и медицины до инженерии и психологии.
Как пользоваться калькулятором
Введите значения X и значения Y, разделяя их запятыми или пробелами. Каждое значение X должно соответствовать значению Y на той же позиции, поэтому оба списка обязаны содержать одинаковое количество чисел. Нажмите «Рассчитать», чтобы получить коэффициент \(r\), а также коэффициент детерминации (\(r^2\)), наклон и сдвиг линии регрессии по методу наименьших квадратов и ковариацию.
Разбор формулы
Для каждой точки данных вычисляется отклонение x от его среднего \((x - \bar{x})\) и отклонение y от его среднего \((y - \bar{y})\). В числителе складываются произведения этих отклонений. В знаменателе стоит квадратный корень из произведения сумм квадратов отклонений каждой переменной. Деление нормирует результат — он становится безразмерным и всегда укладывается в диапазон от −1 до +1.
$$r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \, \sum (y_i - \bar{y})^2}}$$
Пример расчёта
Возьмём X = 1, 2, 3, 4, 5 и Y = 2, 4, 5, 4, 5. Средние значения равны \(\bar{x} = 3\) и \(\bar{y} = 4\). Сумма произведений отклонений \(\sum (x - \bar{x})(y - \bar{y}) = 6\), \(\sum (x - \bar{x})^2 = 10\), а \(\sum (y - \bar{y})^2 = 6\). Отсюда $$r = \frac{6}{\sqrt{10 \times 6}} = \frac{6}{\sqrt{60}} \approx 0{,}7746$$ — это указывает на достаточно сильную положительную линейную связь.
Частые вопросы
Что показывает \(r^2\)? Это квадрат коэффициента \(r\), который отражает долю изменчивости Y, объяснённую линейной связью с X. При \(r = 0{,}7746\) получаем \(r^2 \approx 0{,}6\) — то есть линейная зависимость объясняет около 60 % разброса данных.
Доказывает ли корреляция причинно-следственную связь? Нет. Высокий \(r\) говорит лишь о том, что переменные изменяются согласованно, но не доказывает, что одна является причиной другой.
Что если \(r\) равен ровно 0? Это значит, что линейной связи нет. При этом нелинейная зависимость вполне может существовать — её коэффициент Пирсона просто не способен уловить.
