什麼是皮爾森相關係數？
皮爾森相關係數通常以 \(r\) 表示，用來衡量兩個數值變數之間「直線（線性）」關係的強弱程度。它的數值永遠介於 -1 到 +1 之間。當 \(r\) 接近 +1，代表兩個變數會同步上升；接近 -1 代表一個上升、另一個就下降；接近 0 則表示兩者幾乎沒有線性關聯。這項工具具備通用性——無論是哪個領域、哪一類的成對數值資料都能適用。
如何使用這個計算器
請輸入你的 X 數值與 Y 數值，數字之間以逗號或空格分隔。每一個 X 都必須與相同位置的 Y 配對，因此兩組清單的數值個數要一致。按下計算後，即可得到 \(r\) 值，以及判定係數 (\(r^2\))、最小平方法迴歸的斜率與截距，還有共變異數。
公式說明
對於每一筆資料，先計算 x 與其平均值的偏差 (x − x̄)，以及 y 與其平均值的偏差 (y − ȳ)。分子是把這些偏差的乘積全部加總；分母則是兩個變數各自「偏差平方總和」相乘後再開根號。經過這樣相除標準化後，結果便不受單位影響，且必定落在 -1 到 +1 之間。
$$r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \, \sum (y_i - \bar{y})^2}}$$
實際範例
假設 X = 1, 2, 3, 4, 5，Y = 2, 4, 5, 4, 5。平均值為 \(\bar{x} = 3\)、\(\bar{y} = 4\)。交叉乘積總和 \(\sum (x-\bar{x})(y-\bar{y}) = 6\)，\(\sum (x-\bar{x})^2 = 10\)，\(\sum (y-\bar{y})^2 = 6\)。因此 $$r = \frac{6}{\sqrt{10 \times 6}} = \frac{6}{\sqrt{60}} \approx 0.7746$$ 顯示兩者之間存在相當強的正向線性關係。
常見問題
\(r^2\) 代表什麼？\(r^2\) 就是 \(r\) 的平方，代表 Y 的變異中，能由「與 X 的線性關係」所解釋的比例。當 \(r\) 為 0.7746 時，\(r^2 \approx 0.6\)，也就是約有 60% 的變異可由此關係解釋。
相關性等於因果關係嗎？不等於。高 \(r\) 值只說明兩個變數會一起變動，並不能證明其中一個是造成另一個的原因。
如果 \(r\) 剛好是 0 呢？表示兩者之間沒有線性關聯；不過仍可能存在某種非線性關係，只是皮爾森 \(r\) 無法偵測出來。
