पियर्सन सहसंबंध गुणांक क्या है?
पियर्सन सहसंबंध गुणांक, जिसे \(r\) लिखा जाता है, यह मापता है कि दो संख्यात्मक चर (variables) किसी सीधी रेखा (रैखिक) के रूप में आपस में कितनी मजबूती से एक-दूसरे के साथ बदलते हैं। इसका मान हमेशा -1 और +1 के बीच रहता है। +1 के करीब का मान दर्शाता है कि दोनों चर एक साथ बढ़ते हैं, -1 के करीब का मतलब है कि एक के बढ़ने पर दूसरा घटता है, और 0 के करीब का मतलब है कि रैखिक संबंध बहुत कम या बिल्कुल नहीं है। यह टूल सार्वभौमिक है — यह किसी भी क्षेत्र के किसी भी युग्मित संख्यात्मक डेटा पर लागू होता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
अपने X मान और Y मान दर्ज करें, जिन्हें कॉमा या स्पेस से अलग किया गया हो। प्रत्येक X उसी स्थान वाले Y के साथ युग्मित होना चाहिए, इसलिए दोनों सूचियों में एक समान संख्या में प्रविष्टियाँ होनी चाहिए। गणना (calculate) पर क्लिक करते ही आपको \(r\) के साथ-साथ निर्धारण गुणांक (\(r^2\)), न्यूनतम-वर्ग (least-squares) रिग्रेशन ढलान और इंटरसेप्ट, तथा सहप्रसरण (covariance) मिल जाएगा।
सूत्र की व्याख्या
प्रत्येक डेटा बिंदु के लिए आप x का उसके माध्य से विचलन \((x - \bar{x})\) और y का उसके माध्य से विचलन \((y - \bar{y})\) निकालते हैं। अंश (numerator) इन विचलनों के गुणनफलों का योग होता है। हर (denominator) प्रत्येक चर के वर्गित विचलनों के योग के गुणनफल का वर्गमूल होता है। इस तरह भाग देने से परिणाम मानकीकृत हो जाता है, जिससे यह इकाई-रहित बन जाता है और -1 से +1 के बीच सीमित रहता है।
$$r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \, \sum (y_i - \bar{y})^2}}$$
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए X = 1, 2, 3, 4, 5 और Y = 2, 4, 5, 4, 5। माध्य हैं \(\bar{x} = 3\) और \(\bar{y} = 4\)। क्रॉस-प्रोडक्ट का योग \(\sum (x-\bar{x})(y-\bar{y}) = 6\), \(\sum (x-\bar{x})^2 = 10\), और \(\sum (y-\bar{y})^2 = 6\)। तो
$$r = \frac{6}{\sqrt{10 \times 6}} = \frac{6}{\sqrt{60}} \approx 0.7746$$जो एक काफी मजबूत धनात्मक रैखिक संबंध दर्शाता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
\(r^2\) मुझे क्या बताता है? यह \(r\) का वर्ग है और Y में होने वाले उस बदलाव के अंश को दर्शाता है जिसे X के साथ रैखिक संबंध समझाता है। 0.7746 के \(r\) से \(r^2 \approx 0.6\) मिलता है, यानी लगभग 60% भिन्नता समझाई जाती है।
क्या सहसंबंध कारण-प्रभाव सिद्ध करता है? नहीं। ऊँचा \(r\) यह दिखाता है कि दो चर एक साथ बदलते हैं, लेकिन यह सिद्ध नहीं करता कि एक दूसरे का कारण है।
अगर \(r\) ठीक 0 हो तो? कोई रैखिक संबंध नहीं है, हालाँकि कोई गैर-रैखिक संबंध फिर भी मौजूद हो सकता है जिसे पियर्सन \(r\) पकड़ नहीं पाता।
