Qu'est-ce que le coefficient de corrélation de Pearson ?
Le coefficient de corrélation de Pearson, noté \(r\), mesure l'intensité avec laquelle deux variables numériques évoluent ensemble de façon linéaire (en ligne droite). Il est toujours compris entre -1 et +1. Une valeur proche de +1 signifie que les deux variables augmentent conjointement, une valeur proche de -1 indique que l'une augmente quand l'autre diminue, et une valeur proche de 0 traduit une relation linéaire faible, voire inexistante. Cet outil est universel : il s'applique à toute donnée numérique appariée, quel que soit le domaine.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez vos valeurs X puis vos valeurs Y, séparées par des virgules ou des espaces. Chaque X doit être associé au Y situé à la même position : les deux listes doivent donc comporter le même nombre d'éléments. Cliquez sur Calculer pour obtenir \(r\), ainsi que le coefficient de détermination (\(r^2\)), la pente et l'ordonnée à l'origine de la droite de régression des moindres carrés, et la covariance.
La formule expliquée
Pour chaque point de données, on calcule l'écart de x à sa moyenne \((x - \bar{x})\) et celui de y à sa moyenne \((y - \bar{y})\). Le numérateur est la somme des produits de ces écarts. Le dénominateur correspond à la racine carrée du produit des sommes des carrés des écarts de chaque variable. Cette division standardise le résultat : il devient sans unité et reste borné entre -1 et +1.
$$ r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \, \sum (y_i - \bar{y})^2}} $$$$ \text{où}\quad \left\{ \begin{aligned} x_i &= \text{valeurs X} \\ y_i &= \text{valeurs Y} \\ \bar{x} &= \tfrac{1}{n}\textstyle\sum x_i,\quad \bar{y} = \tfrac{1}{n}\textstyle\sum y_i \end{aligned} \right. $$
Exemple résolu
Prenons X = 1, 2, 3, 4, 5 et Y = 2, 4, 5, 4, 5. Les moyennes sont \(\bar{x} = 3\) et \(\bar{y} = 4\). La somme des produits croisés \(\sum (x-\bar{x})(y-\bar{y}) = 6\), \(\sum (x-\bar{x})^2 = 10\) et \(\sum (y-\bar{y})^2 = 6\). On obtient donc
$$ r = \frac{6}{\sqrt{10 \times 6}} = \frac{6}{\sqrt{60}} \approx 0{,}7746 $$ce qui révèle une relation linéaire positive assez forte.
Foire aux questions
Que m'indique \(r^2\) ? C'est le carré de \(r\) ; il représente la proportion de la variation de Y expliquée par la relation linéaire avec X. Un \(r\) de 0,7746 donne un \(r^2 \approx 0{,}6\), soit environ 60 % de la variance expliquée.
La corrélation prouve-t-elle la causalité ? Non. Un \(r\) élevé montre que deux variables évoluent ensemble, mais n'établit pas que l'une est la cause de l'autre.
Et si \(r\) vaut exactement 0 ? Il n'y a aucune association linéaire, même si une relation non linéaire peut subsister : le \(r\) de Pearson est incapable de la détecter.
