什麼是皮爾森相關係數？
皮爾森相關係數（以 r 表示）用來衡量兩個數值變數 X 與 Y 之間線性關係的強度與方向。它的數值一定落在 −1 到 +1 之間：\(r\) 等於 +1 代表完全正相關，−1 代表完全負相關，而 0 則表示兩者之間完全沒有線性關係。
計算器使用方式
請輸入您的 X 值，以及位置一一對應的 Y 值，數值之間以逗號或空格分隔。每一個 X 都必須與相同位置的 Y 配成一組，因此兩組清單的數值個數應該相同。計算完成後，工具會回傳 \(r\) 值、判定係數 \(r^2\)、資料配對數，以及計算過程中所用到的每一項中間總和，方便您自行手算驗證。
公式說明
本計算器採用的計算公式如下：
$$r = \frac{n\sum xy - \sum x \sum y}{\sqrt{\left(n\sum x^2 - \left(\sum x\right)^2\right)\left(n\sum y^2 - \left(\sum y\right)^2\right)}}$$其中 \(n\) 為資料配對的組數，\(\sum xy\) 是每組 X 與 Y 相乘後的總和，\(\sum x\) 與 \(\sum y\) 分別是兩個變數各自的總和，\(\sum x^2\) 與 \(\sum y^2\) 則是各自平方後的總和。分子反映 X 與 Y 一同變動的程度（即乘上 \(n\) 的共變異數），而分母則以各變數的離散程度進行標準化。
範例演算
假設 X = 1, 2, 3, 4, 5，Y = 2, 4, 5, 4, 5。則 \(n = 5\)、\(\sum x = 15\)、\(\sum y = 20\)、\(\sum xy = 66\)、\(\sum x^2 = 55\)、\(\sum y^2 = 86\)。分子為 \(5\cdot 66 - 15\cdot 20 = 330 - 300 = 30\)；分母為 \(\sqrt{(5\cdot 55 - 225)(5\cdot 86 - 400)} = \sqrt{50 \cdot 30} = \sqrt{1500} \approx 38.7298\)。因此 \(r \approx 30 / 38.7298 \approx 0.7746\)，屬於強烈的正相關。
常見問題
\(r^2\) 代表什麼意義？判定係數 \(r^2\) 表示其中一個變數的變異，有多少比例能由與另一個變數的線性關係來解釋。在上述範例中 \(r^2 \approx 0.60\)，也就是約有 60% 的變異可被解釋。
相關是否代表因果？並不代表。較高的 \(r\) 只表示兩個變數會一同呈線性變動，並無法證明其中一個是另一個的成因。
如果兩組清單長度不同怎麼辦？計算器只會採用前 \(n\) 組配對（即較短清單的長度），因此請務必確認您的資料已正確對齊。
