Что такое коэффициент корреляции Пирсона?
Коэффициент корреляции Пирсона, обозначаемый буквой r, показывает силу и направление линейной связи между двумя числовыми переменными — X и Y. Его значение всегда находится в диапазоне от −1 до +1. Значение +1 указывает на идеальную прямую (положительную) линейную связь, −1 — на идеальную обратную (отрицательную), а 0 означает полное отсутствие линейной зависимости.
Как пользоваться калькулятором
Введите значения X и соответствующие им значения Y, разделяя их запятыми или пробелами. Каждое X должно стоять в паре с Y на той же позиции, поэтому оба списка должны содержать одинаковое количество чисел. Калькулятор выдаёт коэффициент r, коэффициент детерминации r², число пар, а также все промежуточные суммы, использованные в расчёте, — так вы сможете проверить вычисления вручную.
Разбор формулы
Здесь используется следующая вычислительная форма:
$$r = \frac{n\sum xy - \sum x \sum y}{\sqrt{\left(n\sum x^2 - \left(\sum x\right)^2\right)\left(n\sum y^2 - \left(\sum y\right)^2\right)}}$$
В этой формуле \(n\) — количество пар данных, \(\sum xy\) — сумма произведений каждого X на соответствующее Y, \(\sum x\) и \(\sum y\) — суммы значений каждой переменной, а \(\sum x^2\) и \(\sum y^2\) — суммы квадратов. Числитель отражает то, насколько X и Y изменяются совместно (ковариация, умноженная на \(n\)), а знаменатель нормирует результат по разбросу каждой из переменных.
Пример расчёта
Возьмём X = 1, 2, 3, 4, 5 и Y = 2, 4, 5, 4, 5. Тогда \(n = 5\), \(\sum x = 15\), \(\sum y = 20\), \(\sum xy = 66\), \(\sum x^2 = 55\), \(\sum y^2 = 86\). Числитель равен $$5\cdot 66 - 15\cdot 20 = 330 - 300 = 30.$$ Знаменатель равен $$\sqrt{(5\cdot 55 - 225)(5\cdot 86 - 400)} = \sqrt{50 \cdot 30} = \sqrt{1500} \approx 38{,}7298.$$ Следовательно, \(r \approx 30 / 38{,}7298 \approx 0{,}7746\) — сильная положительная корреляция.
Частые вопросы
Что показывает r²? Коэффициент детерминации r² — это доля дисперсии одной переменной, которая объясняется линейной зависимостью от другой. В примере выше \(r^2 \approx 0{,}60\), то есть линейная модель объясняет около 60% вариации данных.
Означает ли корреляция причинно-следственную связь? Нет. Высокое значение r говорит лишь о том, что две переменные изменяются линейно согласованно, но не доказывает, что одна является причиной другой.
Что делать, если списки разной длины? Используются только первые \(n\) пар (по длине более короткого списка), поэтому убедитесь, что ваши данные правильно сопоставлены друг с другом.
