피어슨 상관계수란?
피어슨 상관계수는 기호 r로 표시하며, 두 수치형 변수 X와 Y 사이의 선형 관계가 얼마나 강하고 어느 방향인지를 나타냅니다. 값은 항상 −1과 +1 사이에 놓입니다. +1이면 완벽한 양의 선형 관계, −1이면 완벽한 음의 선형 관계, 0이면 선형 관계가 전혀 없음을 뜻합니다.
계산기 사용 방법
X 값과 그에 대응하는 Y 값을 각각 입력하되, 쉼표나 공백으로 구분하세요. 각 X는 같은 위치의 Y와 짝을 이루므로 두 목록의 항목 수는 같아야 합니다. 계산기는 \(r\), 결정계수 \(r^2\), 데이터 쌍의 개수, 그리고 계산에 쓰인 모든 중간 합계를 함께 보여 주므로 손으로 직접 검산해 볼 수도 있습니다.
공식 자세히 보기
여기서 사용하는 계산용 공식은 다음과 같습니다.
$$r = \frac{n\sum xy - \sum x \sum y}{\sqrt{\left(n\sum x^2 - \left(\sum x\right)^2\right)\left(n\sum y^2 - \left(\sum y\right)^2\right)}}$$
여기서 \(n\)은 데이터 쌍의 개수, \(\sum xy\)는 각 X와 Y를 곱한 값들의 합, \(\sum x\)와 \(\sum y\)는 각 변수의 합, \(\sum x^2\)와 \(\sum y^2\)는 각 변수의 제곱의 합입니다. 분자는 X와 Y가 함께 변하는 정도(공분산에 \(n\)을 곱한 값)를 나타내고, 분모는 각 변수의 흩어진 정도로 이를 정규화합니다.
계산 예시
X = 1, 2, 3, 4, 5, Y = 2, 4, 5, 4, 5라고 해 봅시다. 그러면 \(n = 5\), \(\sum x = 15\), \(\sum y = 20\), \(\sum xy = 66\), \(\sum x^2 = 55\), \(\sum y^2 = 86\)입니다. 분자는 $$5\cdot 66 - 15\cdot 20 = 330 - 300 = 30$$입니다. 분모는 $$\sqrt{(5\cdot 55 - 225)(5\cdot 86 - 400)} = \sqrt{50 \cdot 30} = \sqrt{1500} \approx 38.7298$$입니다. 따라서 $$r \approx \frac{30}{38.7298} \approx 0.7746$$로, 강한 양의 상관관계를 보입니다.
자주 묻는 질문
\(r^2\)는 무엇을 알려 주나요? 결정계수 \(r^2\)는 한 변수의 분산 중에서 다른 변수와의 선형 적합으로 설명되는 비율입니다. 위 예시에서는 \(r^2 \approx 0.60\)이므로, 변동의 약 60%가 설명됩니다.
상관관계가 인과관계를 의미하나요? 아닙니다. \(r\)이 높다는 것은 두 변수가 선형적으로 함께 움직인다는 뜻일 뿐, 한쪽이 다른 쪽의 원인임을 증명하지는 않습니다.
두 목록의 길이가 다르면 어떻게 되나요? 더 짧은 목록의 길이만큼, 즉 앞에서부터 \(n\)개의 쌍만 사용합니다. 따라서 데이터가 올바르게 짝지어졌는지 반드시 확인하세요.
