ما هو معامل ارتباط بيرسون؟
معامل ارتباط بيرسون، ويُرمز له بالحرف r، يقيس قوة واتجاه العلاقة الخطية بين متغيرين رقميين هما X وY. وتقع قيمته دائمًا بين −1 و+1. فالقيمة +1 تعني علاقة خطية طردية تامة، والقيمة −1 تعني علاقة عكسية تامة، أما القيمة 0 فتعني انعدام أي علاقة خطية على الإطلاق.
كيفية استخدام هذه الحاسبة
أدخل قيم X وما يقابلها من قيم Y، مفصولة بفواصل أو بمسافات. ويجب أن تقترن كل قيمة X بقيمة Y في الموضع نفسه، لذا ينبغي أن تحتوي القائمتان على العدد ذاته من المُدخلات. تُرجع لك الحاسبة قيمة \(r\)، ومعامل التحديد \(r^2\)، وعدد الأزواج، وكل مجموع وسيط مُستخدَم في الحساب، حتى تتمكن من مراجعة العملية يدويًا.
شرح المعادلة
الصيغة الحسابية المستخدمة هنا هي:
$$r = \frac{n\sum xy - \sum x \sum y}{\sqrt{\left(n\sum x^2 - \left(\sum x\right)^2\right)\left(n\sum y^2 - \left(\sum y\right)^2\right)}}$$
حيث \(n\) هو عدد أزواج البيانات، و\(\sum xy\) هو مجموع حواصل ضرب كل قيمة X في قيمة Y المقابلة لها، و\(\sum x\) و\(\sum y\) هما مجموع كل متغير، و\(\sum x^2\) و\(\sum y^2\) هما مجموع المربعات. ويعبّر البسط عن مدى تغيُّر X وY معًا (التغاير مضروبًا في \(n\))، بينما يقوم المقام بتسوية القيمة وفقًا لتشتت كل متغير.
مثال محلول
لنأخذ X = 1، 2، 3، 4، 5 وY = 2، 4، 5، 4، 5. عندها يكون \(n = 5\)، و\(\sum x = 15\)، و\(\sum y = 20\)، و\(\sum xy = 66\)، و\(\sum x^2 = 55\)، و\(\sum y^2 = 86\). فيكون البسط:
$$5\cdot 66 - 15\cdot 20 = 330 - 300 = 30$$
ويكون المقام:
$$\sqrt{(5\cdot 55 - 225)(5\cdot 86 - 400)} = \sqrt{50 \cdot 30} = \sqrt{1500} \approx 38.7298$$
وبذلك \(r \approx 30 / 38.7298 \approx 0.7746\)، أي ارتباط طردي قوي.
الأسئلة الشائعة
ماذا تخبرني قيمة \(r^2\)؟ معامل التحديد \(r^2\) هو نسبة التباين في أحد المتغيرين الذي يُفسَّر بالعلاقة الخطية مع المتغير الآخر. في المثال السابق، \(r^2 \approx 0.60\)، أي أن نحو 60% من التباين يمكن تفسيره.
هل يعني الارتباط وجود علاقة سببية؟ لا. فقيمة \(r\) المرتفعة تشير فقط إلى أن المتغيرين يتحركان معًا بشكل خطي، لكنها لا تثبت أن أحدهما سبب للآخر.
ماذا لو كانت قائمتاي مختلفتين في الطول؟ تُستخدم فقط أول \(n\) من الأزواج (أي طول القائمة الأقصر)، لذا تأكد من أن بياناتك متطابقة ومتوافقة في الترتيب.
