什么是皮尔逊相关系数？
皮尔逊相关系数（记作 r）用来衡量两个数值变量 X 与 Y 之间线性关系的强弱和方向，取值始终介于 −1 到 +1 之间。当 \(r = +1\) 时表示完全正相关，\(r = -1\) 时表示完全负相关，\(r = 0\) 则说明两者之间不存在任何线性关系。
如何使用本计算器
将你的 X 数值和对应的 Y 数值分别输入，数值之间用逗号或空格隔开。每个 X 必须与相同位置上的 Y 一一对应，因此两组数据的个数应当一致。计算器会给出 \(r\)、判定系数 \(r^2\)、数据对的个数，以及计算过程中用到的所有中间求和值，方便你手动验算、核对结果。
公式详解
本计算器采用的计算公式为：
$$r = \frac{n\sum xy - \sum x \sum y}{\sqrt{\left(n\sum x^2 - \left(\sum x\right)^2\right)\left(n\sum y^2 - \left(\sum y\right)^2\right)}}$$其中，\(n\) 是数据对的个数，\(\sum xy\) 是每对 X 与 Y 乘积之和，\(\sum x\) 和 \(\sum y\) 分别是两个变量各自的和，\(\sum x^2\) 和 \(\sum y^2\) 则是各自平方的和。分子反映了 X 与 Y 共同变化的程度（即按 n 缩放后的协方差），分母则按各变量的离散程度进行标准化。
实例演算
设 X = 1, 2, 3, 4, 5，Y = 2, 4, 5, 4, 5。则 \(n = 5\)，\(\sum x = 15\)，\(\sum y = 20\)，\(\sum xy = 66\)，\(\sum x^2 = 55\)，\(\sum y^2 = 86\)。分子为 $$5\cdot 66 - 15\cdot 20 = 330 - 300 = 30$$分母为 $$\sqrt{(5\cdot 55 - 225)(5\cdot 86 - 400)} = \sqrt{50 \cdot 30} = \sqrt{1500} \approx 38.7298$$因此 \(r \approx 30 / 38.7298 \approx 0.7746\)，属于较强的正相关。
常见问题
r² 能说明什么？ 判定系数 \(r^2\) 表示一个变量的方差中，能够被另一个变量的线性拟合所解释的比例。在上面的例子里 \(r^2 \approx 0.60\)，也就是说约有 60% 的变化能够被解释。
相关是否意味着因果？ 不是。较高的 \(r\) 只说明两个变量在线性上一同变化，并不能证明其中一个是另一个的原因。
如果两组数据个数不一样怎么办？ 计算器只会取前 n 对（即以较短的那组长度为准），因此请务必确保你的数据正确对齐。
