什么是相关系数？
皮尔逊相关系数通常记作 r，用来衡量两个变量在多大程度上呈直线关系一同变化。它的取值始终介于 −1 到 +1 之间。当 r 接近 +1 时，说明二者存在很强的正线性关系（X 越大，Y 也越大）；当 r 接近 −1 时，说明存在很强的负相关；而当 r 接近 0 时，则表示几乎没有线性关系。
如何使用本计算器
分别输入你的 X 值和与之对应的 Y 值，每组数据用逗号或空格隔开即可。两组数据的个数应当相同；如果数量不一致，系统只会取前面能够一一配对的数据。计算器会返回相关系数 \(r\)、决定系数 \(r^2\)、协方差、两组数据各自的均值，以及最佳拟合回归直线的斜率与截距。
公式解析
对每一对数据，先算出 x 与其均值的离差（\(x - \bar{x}\)）以及 y 与其均值的离差（\(y - \bar{y}\)）。分子是这些离差乘积之和；分母则是两组离差平方和之积再开平方根。通过这样的相除，结果被标准化到 −1 至 +1 的区间内，因此 \(r\) 的大小与数据的计量单位无关。
$$ r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \; \sum (y_i - \bar{y})^2}} $$ $$ \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} x_i &= \text{X values} \\ y_i &= \text{Y values} \\ \bar{x} &= \tfrac{1}{n}\textstyle\sum x_i \\ \bar{y} &= \tfrac{1}{n}\textstyle\sum y_i \end{aligned} \right. $$
实例演算
设 X = 1, 2, 3, 4, 5，Y = 2, 4, 5, 4, 5。两组数据的均值为 \(\bar{x} = 3\)、\(\bar{y} = 4\)。离差乘积之和为 6，\(\sum (x - \bar{x})^2 = 10\)，\(\sum (y - \bar{y})^2 = 6\)。于是
$$ r = \frac{6}{\sqrt{10 \times 6}} = \frac{6}{\sqrt{60}} \approx 0.7746 $$对应 \(r^2 \approx 0.6\)。这表明两者之间存在较强的正线性关系。
常见问题
相关是否意味着因果？不是。较高的 \(r\) 只能说明两个变量会一同变化，并不能证明其中一个是另一个的原因。
多大才算"强"相关？作为粗略的参考，\(|r|\) 大于 0.7 属于强相关，0.3–0.7 属于中等相关，低于 0.3 则较弱——但具体还要结合实际情境来判断。
\(r^2\) 有什么意义？\(r^2\) 表示 Y 的变异中能被"与 X 的线性关系"所解释的比例；\(r^2\) 为 0.6 就意味着 Y 方差的 60% 可以由这种关系来解释。
