R²计算器（决定系数）｜在线计算可决系数

结果

决定系数（R²）

0.9486

94.86% of variance explained

数据点个数（n）	4
实际值均值	2.875
残差平方和（SSres）	1.5
总平方和（SStot）	29.1875

什么是决定系数（R²）？

决定系数通常记作R²，用来衡量模型的预测值与实际观测数据的吻合程度。它表示因变量的方差中，能够被模型解释的那一部分所占的比例。R²的取值范围从1（完美拟合，即预测值与实际值完全一致）一直到0（此时模型并不比直接用均值预测更高明）；当模型的表现比"用均值作基准"还要差时，R²甚至可能变为负数。

Scatter plot with data points and a fitted regression line, showing how well the line explains the variance — R² measures how well a fitted line explains the variation in the data points.

如何使用本计算器

请输入一组实际观测值（y）以及与之一一对应的预测值（ŷ），两者都用英文逗号分隔，且顺序必须保持一致。计算器会将它们逐一配对，先算出实际值的均值，再推导出残差平方和（SSres）与总平方和（SStot），最终给出R²以及模型所解释的方差百分比。

公式详解

$$R^{2} = 1 - \frac{SS_{res}}{SS_{tot}}$$ 其中 $SS_{res} = \sum (y_i - \hat{y}_i)^2$，代表模型预测之后仍然残留的误差；而 $SS_{tot} = \sum (y_i - \bar{y})^2$，代表数据围绕自身均值的总体波动程度。用前者除以后者，得到的是模型"未能解释"的波动比例；再用1减去它，就得到了模型"成功解释"的波动比例。

Diagram comparing total variation around the mean versus residual variation around the fitted line — SStot is the spread around the mean; SSres is the leftover spread around the fitted line.

实例演算

实际值 = [3, −0.5, 2, 7]，预测值 = [2.5, 0.0, 2, 8]。实际值的均值 = 2.875。$$SS_{res} = 0.5^2 + 0.5^2 + 0^2 + 1^2 = 0.25 + 0.25 + 0 + 1 = 1.5$$ $$SS_{tot} = (0.125)^2 + (3.375)^2 + (0.875)^2 + (4.125)^2 \approx 0.0156 + 11.3906 + 0.7656 + 17.0156 = 29.1875$$ $$R^{2} = 1 - \frac{1.5}{29.1875} \approx 0.9486$$ 也就是说该模型解释了大约94.9%的方差。