什么是皮尔逊相关系数？
皮尔逊相关系数（记作 r）用于衡量两个数值变量之间线性关系的强弱和方向。它的取值始终落在 −1 到 +1 之间：r 等于 +1 表示完全正向线性关系，−1 表示完全负向关系，0 则表示两者之间没有任何线性相关。它是科研、金融和数据科学领域中应用最广泛的统计量之一。
如何使用本计算器
请将你的 X 值和 Y 值分别填入，数值之间用逗号或空格分隔。每一个 X 都要与位置相同的 Y 一一对应，因此两组数据应包含相同数量的数值。计算器会给出相关系数 r、决定系数 r²、成对观测的数量，以及每个变量的平均值。
公式详解
该公式先用每个数值减去对应的平均值，得到离差；再将成对的 X、Y 离差相乘并求和（分子）；最后除以两组离差平方和乘积的平方根（分母）：
$$r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \; \sum (y_i - \bar{y})^2}}$$分子反映了两个变量共同变动的程度（即协方差），而分母则对结果进行归一化处理，使其始终保持在 −1 到 +1 的范围之内。
实例演算
假设 X = 1, 2, 3, 4, 5，Y = 2, 4, 5, 4, 5。它们的平均值分别为 \(\bar{x} = 3\)、\(\bar{y} = 4\)。离差乘积之和为 6，\(\sum (x_i - \bar{x})^2 = 10\)，\(\sum (y_i - \bar{y})^2 = 6\)。因此 $$r = \frac{6}{\sqrt{10 \times 6}} = \frac{6}{\sqrt{60}} \approx 0.7746$$这说明两者存在较强的正向线性关系；\(r^2 \approx 0.60\)，意味着约 60% 的方差是共有的。
常见问题
r² 能告诉我什么？r²（r 的平方）表示一个变量的方差中，能够由另一个变量预测的比例——常用来判断线性模型的拟合优劣。
r 值高就代表有因果关系吗？不是。相关只衡量关联性，而非因果。较高的 r 也可能源于巧合，或是某个隐藏的第三方变量在起作用。
为什么 X 和 Y 的数量必须相等？皮尔逊相关系数基于成对观测进行计算。如果两组数据长度不同，则只取前 n 对，其中 n 为较短一组的数量。
