Калькулятор коэффициента корреляции Пирсона

Введите расчет

Значения X (через запятую или пробел)

Значения Y (через запятую или пробел)

Результатов

Коэффициент корреляции Пирсона (r)

0,7746

диапазон от −1 до +1

Коэффициент детерминации (r²)	0,6
Количество пар (n)	5
Среднее значение X	3
Среднее значение Y	4

Что такое коэффициент корреляции Пирсона?

Коэффициент корреляции Пирсона, обозначаемый буквой \(r\), показывает силу и направление линейной связи между двумя числовыми переменными. Его значение всегда лежит в диапазоне от −1 до +1: значение +1 означает идеальную прямую (положительную) линейную связь, −1 — идеальную обратную (отрицательную) связь, а 0 говорит о полном отсутствии линейной корреляции. Это один из самых востребованных статистических показателей в науке, финансах и анализе данных.

Разные виды разброса: сильная положительная связь (r около +1), сильная отрицательная (r около −1) и отсутствие корреляции (r около 0).

Как пользоваться калькулятором

Введите значения X и значения Y в виде списков, разделяя числа запятыми или пробелами. Каждое значение X образует пару со значением Y, стоящим на той же позиции, поэтому оба списка должны содержать одинаковое количество чисел. Калькулятор вернёт коэффициент \(r\), коэффициент детерминации \(r^2\), количество пар наблюдений и среднее значение каждой переменной.

Разбираем формулу

В формуле от каждого значения вычитается его среднее — так получаются отклонения. Затем парные отклонения X и Y перемножаются и суммируются (это числитель), после чего результат делится на квадратный корень из произведения сумм квадратов отклонений (знаменатель):

$$r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \; \sum (y_i - \bar{y})^2}}$$

Числитель отражает, насколько согласованно изменяются переменные (это ковариация), а знаменатель нормирует результат, удерживая его в пределах от −1 до +1.

Реклама

Пример расчёта

Допустим, X = 1, 2, 3, 4, 5 и Y = 2, 4, 5, 4, 5. Средние значения равны \(\bar{x} = 3\) и \(\bar{y} = 4\). Сумма произведений отклонений составляет 6, \(\sum (x_i - \bar{x})^2 = 10\), а \(\sum (y_i - \bar{y})^2 = 6\). Тогда $$r = \frac{6}{\sqrt{10 \times 6}} = \frac{6}{\sqrt{60}} \approx 0{,}7746.$$ Это говорит о сильной прямой линейной связи, при этом \(r^2 \approx 0{,}60\) означает, что около 60% дисперсии у переменных является общей.

Линия наилучшего соответствия, проведённая через парные точки данных, иллюстрирует линейную связь, измеряемую r.

Частые вопросы

Что показывает r²? \(r^2\) (r в квадрате) — это доля дисперсии одной переменной, которую можно предсказать по другой. Показатель удобен для оценки того, насколько хорошо линейная модель описывает данные.

Означает ли высокий r наличие причинно-следственной связи? Нет. Корреляция отражает взаимосвязь, но не причину. Сильный \(r\) может возникнуть случайно или из-за скрытой третьей переменной.

Почему X и Y должны быть одинаковой длины? Коэффициент Пирсона работает с парными наблюдениями. Если списки различаются по длине, используются только первые \(n\) пар, где \(n\) — длина более короткого списка.