피어슨 상관계수란?
피어슨 상관계수는 기호 r로 표시하며, 두 수치형 변수 사이의 선형 관계가 얼마나 강하고 어떤 방향인지를 나타냅니다. 값은 항상 −1과 +1 사이에 위치합니다. +1은 완벽한 양(+)의 선형 관계, −1은 완벽한 음(−)의 선형 관계를 의미하며, 0은 선형 상관관계가 전혀 없음을 뜻합니다. 연구, 금융, 데이터 사이언스 등 다양한 분야에서 가장 널리 쓰이는 통계량 중 하나입니다.
계산기 사용 방법
X 값과 Y 값을 쉼표 또는 공백으로 구분해 입력하세요. 각 X는 같은 순서에 있는 Y와 한 쌍을 이루므로, 두 목록의 값 개수는 반드시 동일해야 합니다. 계산기는 \(r\), 결정계수 \(r^2\), 짝지어진 관측치 개수, 그리고 각 변수의 평균을 함께 알려 줍니다.
공식 풀이
먼저 각 값에서 평균을 빼 편차를 구하고, 짝지은 X·Y 편차를 곱한 뒤 모두 더해 분자를 만듭니다. 그런 다음 각 편차 제곱합의 곱에 제곱근을 씌운 값(분모)으로 나눕니다.
$$r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \; \sum (y_i - \bar{y})^2}}$$분자는 두 변수가 함께 얼마나 움직이는지(공분산)를 포착하고, 분모는 그 결과를 정규화하여 값이 항상 −1에서 +1 범위 안에 머물도록 합니다.
예제 풀이
X = 1, 2, 3, 4, 5이고 Y = 2, 4, 5, 4, 5라고 가정해 봅시다. 평균은 \(\bar{x} = 3\), \(\bar{y} = 4\)입니다. 편차 곱의 합은 6, \(\sum (x_i - \bar{x})^2 = 10\), \(\sum (y_i - \bar{y})^2 = 6\)이 됩니다. 따라서 $$r = \frac{6}{\sqrt{10 \times 6}} = \frac{6}{\sqrt{60}} \approx 0.7746$$입니다. 이는 강한 양(+)의 선형 관계를 나타내며, \(r^2 \approx 0.60\)은 분산의 약 60%가 공유된다는 것을 의미합니다.
자주 묻는 질문
r²는 무엇을 알려 주나요? \(r^2\)(r 제곱)은 한 변수의 분산 중 다른 변수로 예측 가능한 비율을 나타냅니다. 선형 모델이 데이터에 얼마나 잘 맞는지를 판단할 때 유용합니다.
r 값이 높으면 인과관계가 있는 건가요? 아닙니다. 상관관계는 연관성을 측정할 뿐 원인을 의미하지 않습니다. 높은 r 값은 우연이나 숨겨진 제3의 변수 때문에 나타날 수도 있습니다.
X와 Y의 개수는 왜 같아야 하나요? 피어슨 r은 짝지어진 관측치를 대상으로 계산하기 때문입니다. 두 목록의 길이가 다르면 더 짧은 쪽의 개수 n만큼, 즉 앞에서 n쌍만 사용됩니다.
