पियर्सन सहसंबंध गुणांक क्या है?
पियर्सन सहसंबंध गुणांक, जिसे r से दर्शाया जाता है, दो संख्यात्मक चरों (variables) के बीच रेखीय संबंध की मज़बूती और दिशा को मापता है। इसका मान हमेशा −1 और +1 के बीच रहता है: +1 का अर्थ है पूर्ण धनात्मक रेखीय संबंध, −1 का अर्थ है पूर्ण ऋणात्मक संबंध, और 0 का अर्थ है कोई रेखीय सहसंबंध नहीं। यह शोध, वित्त और डेटा साइंस में सबसे अधिक इस्तेमाल होने वाले सांख्यिकीय मापों में से एक है।
इस कैलकुलेटर का इस्तेमाल कैसे करें
अपने X मान और Y मान को अल्पविराम (comma) या स्पेस से अलग करके दर्ज करें। हर X का जोड़ा उसी स्थान पर मौजूद Y के साथ बनता है, इसलिए दोनों सूचियों में मानों की संख्या बराबर होनी चाहिए। कैलकुलेटर आपको r, निर्धारण गुणांक (coefficient of determination) r², युग्मित प्रेक्षणों की संख्या और हर चर का माध्य (mean) बताता है।
सूत्र को समझें
इस सूत्र में पहले हर मान को उसके माध्य से घटाकर विचलन (deviation) निकाला जाता है, फिर X और Y के युग्मित विचलनों को गुणा करके जोड़ा जाता है (अंश/numerator), और अंत में वर्ग किए गए विचलनों के योग के गुणनफल के वर्गमूल से भाग दिया जाता है (हर/denominator):
$$r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \; \sum (y_i - \bar{y})^2}}$$अंश यह दर्शाता है कि दोनों चर किस हद तक एक साथ बदलते हैं (सहप्रसरण/covariance), जबकि हर परिणाम को सामान्यीकृत (normalise) करता है ताकि वह −1 से +1 की सीमा में बना रहे।
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए X = 1, 2, 3, 4, 5 और Y = 2, 4, 5, 4, 5 हैं। माध्य हैं \(\bar{x} = 3\) और \(\bar{y} = 4\)। विचलनों के गुणनफलों का योग 6 है, \(\sum (x_i - \bar{x})^2 = 10\), और \(\sum (y_i - \bar{y})^2 = 6\)। तो $$r = \frac{6}{\sqrt{10 \times 6}} = \frac{6}{\sqrt{60}} \approx 0.7746$$ यह एक मज़बूत धनात्मक रेखीय संबंध दर्शाता है, और \(r^2 \approx 0.60\) का अर्थ है कि लगभग 60% प्रसरण (variance) दोनों चरों में साझा है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल (FAQ)
r² मुझे क्या बताता है? r² (r का वर्ग) एक चर के प्रसरण का वह अनुपात है जिसे दूसरे चर से अनुमानित किया जा सकता है — यह आँकने में मददगार है कि रेखीय मॉडल कितनी अच्छी तरह फिट बैठता है।
क्या ऊँचा r का मतलब कारण-संबंध (causation) है? नहीं। सहसंबंध केवल जुड़ाव मापता है, कारण नहीं। मज़बूत r संयोग से या किसी छिपे तीसरे चर के कारण भी हो सकता है।
X और Y की लंबाई बराबर क्यों होनी चाहिए? पियर्सन का r युग्मित प्रेक्षणों पर काम करता है। अगर सूचियों की लंबाई अलग-अलग हो, तो केवल पहले n जोड़े ही इस्तेमाल होते हैं, जहाँ n छोटी सूची की संख्या है।
