ピアソンの相関係数とは？
ピアソンの相関係数（記号はr）は、2つの数値変数の間にある線形な関係の「強さ」と「向き」を表す指標です。値は必ず−1から+1の範囲に収まり、+1は完全な正の相関、−1は完全な負の相関、0は線形な相関がまったくないことを意味します。研究・金融・データサイエンスなど幅広い分野で最もよく使われる統計量のひとつです。
この計算ツールの使い方
Xの値とYの値を、カンマ区切りまたはスペース区切りで入力してください。XとYは同じ位置同士でペアになるため、両方のリストの値の個数は一致させる必要があります。計算結果として、相関係数 \(r\)、決定係数 \(r^2\)、ペアの数、そして各変数の平均値が表示されます。
計算式の解説
計算式ではまず、各値から平均値を引いて偏差を求めます。次に、XとYの偏差を掛け合わせて合計したもの（分子）を、それぞれの偏差平方和の積の平方根（分母）で割ります。
$$r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \; \sum (y_i - \bar{y})^2}}$$分子は2つの変数がどれだけ一緒に動くか（共分散）を表し、分母は結果を−1〜+1の範囲に収まるよう正規化する役割を果たします。
具体的な計算例
たとえば X = 1, 2, 3, 4, 5、Y = 2, 4, 5, 4, 5 とします。平均は \(\bar{x} = 3\)、\(\bar{y} = 4\) です。偏差の積の合計は6、\(\sum (x_i - \bar{x})^2 = 10\)、\(\sum (y_i - \bar{y})^2 = 6\) となります。したがって $$r = \frac{6}{\sqrt{10 \times 6}} = \frac{6}{\sqrt{60}} \approx 0.7746$$ です。これは強い正の線形関係を示しており、\(r^2 \approx 0.60\)、つまり分散のおよそ60％が共有されていることを意味します。
よくある質問（FAQ）
r²は何を表していますか？ \(r^2\)（rの2乗）は、一方の変数の分散のうち、もう一方の変数から予測できる割合を示します。線形モデルがどれだけよく当てはまっているかを判断するのに役立ちます。
rが高ければ因果関係があると言えますか？ いいえ。相関は「関連性」を測るものであり、「原因」を示すものではありません。強いrは偶然や、隠れた第3の変数によって生じることもあります。
なぜXとYの個数を揃える必要があるのですか？ ピアソンのrは対になったデータに対して計算します。リストの長さが異なる場合は、短い方の個数を \(n\) として、先頭からn組のペアのみが使用されます。
