상관계수란?
피어슨 상관계수는 보통 r로 표기하며, 두 변수가 직선 형태로 얼마나 함께 움직이는지를 나타내는 지표입니다. 값은 항상 −1에서 +1 사이에 위치합니다. +1에 가까울수록 강한 양(+)의 선형 관계(X가 커지면 Y도 커짐)를 뜻하고, −1에 가까울수록 강한 음(−)의 관계를, 0에 가까울수록 선형 관계가 거의 없음을 의미합니다.
계산기 사용법
X 값과 그에 대응하는 Y 값을 각각 입력하세요. 각 목록은 쉼표나 공백으로 구분하면 됩니다. 두 목록의 데이터 개수는 같아야 하며, 개수가 다를 경우 앞에서부터 짝이 맞는 쌍까지만 계산에 사용됩니다. 계산기는 \(r\), 결정계수 \(r^2\), 공분산, 각 데이터의 평균, 그리고 최적 회귀직선의 기울기와 절편을 함께 보여줍니다.
공식 살펴보기
각 쌍에 대해 x가 평균에서 벗어난 편차(x − x̄)와 y가 평균에서 벗어난 편차(y − ȳ)를 구합니다. 분자는 이 두 편차의 곱을 모두 더한 값이고, 분모는 각 편차 제곱합의 곱에 대한 제곱근입니다. 이렇게 나누면 결과가 −1에서 +1 사이로 표준화되므로, 측정 단위와 상관없이 관계의 강도를 비교할 수 있습니다.
$$r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \; \sum (y_i - \bar{y})^2}}$$$$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} x_i &= \text{X values} \\ y_i &= \text{Y values} \\ \bar{x} &= \tfrac{1}{n}\textstyle\sum x_i \\ \bar{y} &= \tfrac{1}{n}\textstyle\sum y_i \end{aligned} \right.$$
예제로 이해하기
X = 1, 2, 3, 4, 5, Y = 2, 4, 5, 4, 5라고 해봅시다. 평균은 \(\bar{x} = 3\), \(\bar{y} = 4\)입니다. 편차 곱의 합은 6, \(\sum (x - \bar{x})^2 = 10\), \(\sum (y - \bar{y})^2 = 6\)이 됩니다. 따라서 $$r = \frac{6}{\sqrt{10 \times 6}} = \frac{6}{\sqrt{60}} \approx 0.7746$$이고, \(r^2 \approx 0.6\)입니다. 이는 비교적 강한 양의 선형 관계가 있음을 보여줍니다.
자주 묻는 질문
상관관계가 곧 인과관계인가요? 아닙니다. \(r\) 값이 높다는 것은 두 변수가 함께 움직인다는 사실만 보여줄 뿐, 한쪽이 다른 쪽의 원인임을 증명하지는 않습니다.
'강한' 상관관계의 기준은 무엇인가요? 대략적인 기준으로 \(|r|\)이 0.7을 넘으면 강함, 0.3~0.7은 보통, 0.3 미만은 약함으로 봅니다. 다만 분야와 상황에 따라 해석이 달라질 수 있습니다.
r²는 왜 중요한가요? \(r^2\)는 X와의 선형 관계가 Y의 변동을 얼마나 설명하는지를 나타냅니다. \(r^2\)가 0.6이라면 Y의 분산 중 60%가 설명된다는 뜻입니다.
