Что такое коэффициент корреляции?
Коэффициент корреляции Пирсона, обозначаемый буквой r, показывает, насколько тесно две переменные связаны линейной зависимостью. Его значение всегда лежит в диапазоне от −1 до +1. Значение, близкое к +1, говорит о сильной положительной линейной связи (чем больше X, тем больше Y), близкое к −1 — о сильной отрицательной связи, а около 0 — о том, что линейной зависимости практически нет.
Как пользоваться калькулятором
Введите значения X и соответствующие им значения Y, разделяя числа в каждом списке запятыми или пробелами. Оба списка должны содержать одинаковое количество элементов; если их длина различается, в расчёт берутся только первые совпадающие пары. Калькулятор выдаёт коэффициент r, коэффициент детерминации r², ковариацию, средние значения каждой выборки, а также наклон и свободный член уравнения линии наилучшего соответствия.
Разбор формулы
Для каждой пары вычисляется отклонение x от своего среднего \((x - \bar{x})\) и отклонение y от своего среднего \((y - \bar{y})\). В числителе суммируются произведения этих отклонений, а в знаменателе берётся квадратный корень из произведения сумм квадратов отклонений. Деление приводит результат к диапазону от −1 до +1, поэтому величина коэффициента не зависит от единиц измерения исходных данных.
$$\begin{gathered} r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \; \sum (y_i - \bar{y})^2}} \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} x_i &= \text{X values} \\ y_i &= \text{Y values} \\ \bar{x} &= \tfrac{1}{n}\textstyle\sum x_i \\ \bar{y} &= \tfrac{1}{n}\textstyle\sum y_i \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
Пример расчёта
Возьмём X = 1, 2, 3, 4, 5 и Y = 2, 4, 5, 4, 5. Средние значения равны \(\bar{x} = 3\) и \(\bar{y} = 4\). Сумма произведений отклонений равна 6, \(\sum (x-\bar{x})^2 = 10\), а \(\sum (y-\bar{y})^2 = 6\). Тогда
$$r = \frac{6}{\sqrt{10 \times 6}} = \frac{6}{\sqrt{60}} \approx 0{,}7746$$
а \(r^2 \approx 0{,}6\). Это говорит о довольно сильной положительной линейной связи.
Частые вопросы
Означает ли корреляция причинно-следственную связь? Нет. Высокое значение r лишь показывает, что переменные изменяются согласованно, но не доказывает, что одна из них является причиной другой.
Какую корреляцию считать «сильной»? В качестве ориентира: \(|r|\) выше 0,7 — сильная связь, 0,3–0,7 — умеренная, ниже 0,3 — слабая. Но всё зависит от контекста.
Почему важен показатель r²? Коэффициент r² показывает, какую долю изменчивости Y объясняет линейная зависимость от X. Например, r², равный 0,6, означает, что линейной связью объясняется 60 % разброса значений Y.
