Что такое формула n-го члена арифметической прогрессии?
Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член больше (или меньше) предыдущего на одну и ту же постоянную величину. Эту величину называют разностью прогрессии и обозначают d. Формула n-го члена позволяет сразу найти любой член последовательности, не выписывая все предыдущие. Зная первый член a₁ и разность d, n-й член вычисляют так:
$$a_n = a_1 + (n - 1)\cdot d$$
Как пользоваться калькулятором
Введите три значения: первый член (\(a_1\)), разность прогрессии (\(d\)) и номер искомого члена (\(n\)). Калькулятор сразу выдаст \(a_n\), а заодно покажет сумму первых n членов (\(S_n\)) — для удобства. Значения \(a_1\) и \(d\) могут быть отрицательными или дробными, а вот \(n\) должно быть целым числом не меньше 1.
Разбираем формулу
Множитель «\((n - 1)\)» здесь принципиален: первый член сам по себе уже занимает первую позицию, поэтому разность нужно прибавлять только за каждый шаг после первого. Чтобы добраться до 5-го члена, мы прибавляем d к a₁ четыре раза, а не пять. Именно поэтому в формуле стоит \((n - 1)\), а не \(n\).
Пример с решением
Пусть \(a_1 = 2\), а \(d = 3\). Найдём 10-й член: $$a_{10} = 2 + (10 - 1)\cdot 3 = 2 + 9\cdot 3 = 2 + 27 = 29.$$ Сумма первых 10 членов равна $$S_{10} = \frac{10}{2}(2\cdot 2 + 9\cdot 3) = 5\cdot(4 + 27) = 5\cdot 31 = 155.$$
Частые вопросы
А если разность отрицательная? Отрицательное \(d\) просто означает, что прогрессия убывает. Формула при этом работает точно так же.
Может ли n быть дробным? Нет. Номер члена \(n\) — это положительное целое число, ведь члены последовательности нумеруются по порядку целыми числами.
Чем формула n-го члена отличается от рекуррентной? Рекуррентная формула (\(a_n = a_{n-1} + d\)) требует знать предыдущий член, тогда как формула n-го члена даёт любой член сразу — по значениям \(a_1\), \(d\) и \(n\).
