ما هي الصيغة الصريحة للمتتالية الحسابية؟
المتتالية الحسابية هي قائمة من الأعداد يزيد فيها كل حد (أو ينقص) بمقدار ثابت يُسمى الفرق المشترك ويُرمز له بالحرف d. تتيح لك الصيغة الصريحة الوصول مباشرةً إلى أي حد تريده دون الحاجة إلى كتابة جميع الحدود التي تسبقه. فإذا عرفت الحد الأول a₁ والفرق المشترك d، يكون الحد النوني كالتالي:
$$a_n = a_1 + (n - 1)\cdot d$$
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل ثلاث قيم: الحد الأول \(a_1\)، والفرق المشترك \(d\)، وموضع الحد المطلوب \(n\). تعرض الحاسبة قيمة الحد النوني \(a_n\) على الفور، كما تحسب لك مجموع أول \(n\) من الحدود \(S_n\) لمزيد من الفائدة. يمكن أن تكون قيمتا \(a_1\) و\(d\) سالبتين أو عشريتين، أما \(n\) فيجب أن يكون عددًا صحيحًا لا يقل عن 1.
شرح الصيغة
يأتي العامل «\((n - 1)\)» لسبب مهم، وهو أن الحد الأول يُحسب أصلًا في الموضع رقم 1، لذلك لا تضيف الفرق المشترك إلا عن كل خطوة بعد الحد الأول. وبذلك يتطلب الوصول إلى الحد الخامس إضافة الفرق المشترك \(d\) أربع مرات إلى \(a_1\). ولهذا نستخدم \((n - 1)\) بدلًا من \(n\).
مثال محلول
لنفترض أن \(a_1 = 2\) وأن \(d = 3\). لإيجاد الحد العاشر:
$$a_{10} = 2 + (10 - 1)\cdot 3 = 2 + 9\cdot 3 = 2 + 27 = 29$$
أما مجموع أول 10 حدود فهو
$$S_{10} = \frac{10}{2}(2\cdot 2 + 9\cdot 3) = 5\cdot(4 + 27) = 5\cdot 31 = 155$$
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كان الفرق المشترك سالبًا؟ القيمة السالبة لـ \(d\) تعني ببساطة أن المتتالية تتناقص، وتعمل الصيغة بالطريقة نفسها تمامًا.
هل يمكن أن يكون n كسرًا؟ لا. يجب أن يكون رقم الحد \(n\) عددًا صحيحًا موجبًا، لأن حدود المتتالية تُعدّ بأعداد صحيحة.
ما الفرق بين الصيغة الصريحة والصيغة التراجعية؟ الصيغة التراجعية \((a_n = a_{n-1} + d)\) تحتاج إلى معرفة الحد السابق، بينما تمنحك الصيغة الصريحة أي حد مباشرةً انطلاقًا من \(a_1\) و\(d\) و\(n\).
