Qu'est-ce que la formule explicite d'une suite arithmétique ?
Une suite arithmétique est une liste de nombres où chaque terme augmente (ou diminue) d'une valeur fixe, appelée la raison d. La formule explicite vous permet d'accéder directement à n'importe quel terme, sans avoir à énumérer tous ceux qui le précèdent. Connaissant le premier terme a₁ et la raison d, le nième terme s'écrit :
$$a_n = a_1 + (n - 1)\cdot d$$
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez trois valeurs : le premier terme (a₁), la raison (d) et le rang du terme recherché (n). Le calculateur affiche instantanément aₙ, ainsi que la somme des n premiers termes (Sₙ) pour plus de commodité. Les valeurs a₁ et d peuvent être négatives ou décimales ; en revanche, n doit être un nombre entier supérieur ou égal à 1.
La formule expliquée
Le facteur « (n − 1) » a toute son importance : le premier terme occupe déjà le rang 1, on n'ajoute donc la raison qu'à chaque pas suivant. Ainsi, pour atteindre le 5e terme, on ajoute d quatre fois à a₁. C'est la raison pour laquelle on utilise (n − 1) et non n.
Exemple détaillé
Prenons \(a_1 = 2\) et \(d = 3\). Pour trouver le 10e terme : $$a_{10} = 2 + (10 - 1)\cdot 3 = 2 + 9\cdot 3 = 2 + 27 = 29$$ La somme des 10 premiers termes vaut $$S_{10} = \frac{10}{2}(2\cdot 2 + 9\cdot 3) = 5\cdot(4 + 27) = 5\cdot 31 = 155$$
FAQ
Que se passe-t-il si la raison est négative ? Une raison d négative signifie simplement que la suite est décroissante. La formule s'applique exactement de la même manière.
n peut-il être une fraction ? Non. Le rang n doit être un nombre entier positif, puisque les termes d'une suite se comptent avec des entiers.
Quelle est la différence entre une formule explicite et une formule récurrente ? La forme récurrente (\(a_n = a_{n-1} + d\)) nécessite de connaître le terme précédent, tandis que la forme explicite donne n'importe quel terme directement à partir de a₁, d et n.
