Aritmetik dizinin genel terim formülü nedir?
Aritmetik dizi, her terimin bir öncekine göre sabit bir miktarda arttığı (ya da azaldığı) sayı dizisidir. Bu sabit miktara ortak fark denir ve \(d\) ile gösterilir. Genel terim formülü, kendinden önceki tüm terimleri tek tek yazmadan dizinin herhangi bir terimine doğrudan ulaşmanızı sağlar. İlk terim \(a_1\) ve ortak fark \(d\) verildiğinde, n'inci terim şöyle hesaplanır:
$$a_n = a_1 + (n - 1)\cdot d$$
Hesaplama aracı nasıl kullanılır?
Üç değer girin: ilk terim (\(a_1\)), ortak fark (\(d\)) ve bulmak istediğiniz terimin sırası (\(n\)). Hesap makinesi anında \(a_n\) değerini verir; ayrıca kolaylık olsun diye ilk n terimin toplamını (\(S_n\)) da gösterir. Hem \(a_1\) hem de \(d\) negatif ya da ondalıklı olabilir; \(n\) ise en az 1 olan bir tam sayı olmalıdır.
Formülün açıklaması
"\((n - 1)\)" çarpanı önemlidir, çünkü ilk terim zaten 1. sırada yer alır — ortak farkı yalnızca ilk terimden sonraki her adım için eklersiniz. Yani 5. terime ulaşmak, \(a_1\) değerine \(d\)'yi dört kez eklemek demektir. İşte tam da bu yüzden n yerine \((n - 1)\) kullanırız.
Çözümlü örnek
Diyelim ki \(a_1 = 2\) ve \(d = 3\). 10. terimi bulmak için: $$a_{10} = 2 + (10 - 1)\cdot 3 = 2 + 9\cdot 3 = 2 + 27 = 29$$ İlk 10 terimin toplamı ise $$S_{10} = \frac{10}{2}(2\cdot 2 + 9\cdot 3) = 5\cdot(4 + 27) = 5\cdot 31 = 155$$ olur.
Sıkça sorulan sorular
Ortak fark negatifse ne olur? Negatif bir \(d\), dizinin azaldığı anlamına gelir. Formül yine birebir aynı şekilde çalışır.
n bir kesir olabilir mi? Hayır. Terim sırası \(n\) pozitif bir tam sayı olmalıdır, çünkü dizi terimleri tam sayılarla sayılır.
Genel terim ile özyinelemeli formül arasındaki fark nedir? Özyinelemeli biçim (\(a_n = a_{n-1} + d\)) bir önceki terime ihtiyaç duyar; genel terim biçimi ise herhangi bir terimi doğrudan \(a_1\), \(d\) ve \(n\) değerlerinden verir.
