Aritmetik dizi nedir?
Aritmetik dizi, her terimin bir öncekinden sabit bir miktar kadar farklı olduğu sayı listesidir; bu sabit miktara ortak fark (\(d\)) denir. \(a_1\) ilk teriminden başlayarak dizi \(a_1, a_1+d, a_1+2d\) şeklinde devam eder. Bu terimlerin toplamı ise aritmetik seri olarak adlandırılır. Bu hesaplama aracı, herhangi bir aritmetik dizinin hem n'inci terimini hem de o ana kadarki toplamını bulur.
Bu hesaplama aracı nasıl kullanılır?
İlk terimi (\(a_1\)), ortak farkı (\(d\)) ve kaç terim istediğinizi (\(n\)) girin. Araç, n'inci terimin değerini (\(a_n\)) ve bu n terimin toplam değeri olan \(S_n\)'i verir. Ortak fark pozitif, negatif veya sıfır olabilir; ilk terim de herhangi bir gerçek sayı olabilir.
Formüller açıklamasıyla
n'inci terim, ilk terime ortak farkın (\(n-1\)) kez eklenmesiyle bulunur: $$a_n = a_1 + (n-1)d$$ Toplamda ise Gauss'a atfedilen şık eşleştirme yöntemi kullanılır: ilk ve son terimi, ikinci ve sondan ikinci terimi vb. eşleştirin. Her eşleşme \((a_1 + a_n)\) toplamını verir ve böyle \(n/2\) tane eşleşme olur; bu da $$S_n = \frac{n}{2}\,(a_1 + a_n)$$ formülünü ortaya çıkarır.
Çözümlü örnek
Diyelim ki \(a_1 = 3\), \(d = 5\) ve \(n = 10\). Onuncu terim $$a_{10} = 3 + (10-1)\cdot 5 = 3 + 45 = 48$$ olur. İlk 10 terimin toplamı ise $$S_{10} = \frac{10}{2}\cdot(3 + 48) = 5 \cdot 51 = 255$$ tir. Yani \(3, 8, 13, \ldots, 48\) serisinin toplamı 255 eder.
Sıkça Sorulan Sorular
Ortak fark 0 ise ne olur? Her terim \(a_1\)'e eşit olur; dolayısıyla \(a_n = a_1\) ve toplam basitçe \(n \times a_1\) olur.
Terimler negatif veya ondalıklı olabilir mi? Evet. \(a_1\) ve \(d\) için her türlü gerçek değer kullanılabilir; formüller yine tam olarak geçerlidir.
Dizi ile seri arasındaki fark nedir? Dizi, terimlerin sıralı listesidir; seri ise bu terimlerin toplamıdır.
