Binom Olasılık Hesaplayıcı nedir?
Bu hesaplayıcı, her birinde başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede tam olarak k başarı elde etme olasılığını bulur. Yazı tura atışları, serbest atış isabetleri, üretim hattındaki kusurlu ürünler veya evet/hayır anket yanıtları gibi bu kalıba uyan durumlar binom dağılımı ile ifade edilir. Tam olasılığın yanı sıra P(X≤k) ve P(X≥k) kümülatif olasılıklarını, ayrıca dağılımın ortalamasını, varyansını ve standart sapmasını da verir.
Nasıl kullanılır?
Deneme sayısını n (pozitif bir tam sayı), ilgilendiğiniz başarı sayısını k (0 ile n arasında) ve tek bir denemedeki başarı olasılığını p (0 ile 1 arasında ondalık bir değer, örneğin hilesiz bir para için 0,5) girin. Hesapla düğmesine basarak tam olarak k başarı elde etme olasılığını ve ilgili özet istatistikleri görebilirsiniz.
Formülün açıklaması
Binom olasılık kütle fonksiyonu şöyledir:
$$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$Buradaki \(\binom{n}{k}\) — yani "n'in k'li kombinasyonu" olarak okunan binom katsayısı — k başarının kaç farklı şekilde dizilebileceğini sayar; \(p^k\) bu k denemenin hepsinin başarılı olma olasılığıdır; \((1-p)^{n-k}\) ise geri kalan denemelerin tümünün başarısız olma olasılığıdır. Bunların çarpımı, o belirli başarı sayısının toplam olasılığını verir.
Çözümlü örnek
Hilesiz bir parayı 10 kez atalım (n=10, p=0,5) ve tam olarak 3 yazı gelme olasılığını soralım (k=3). \(\binom{10}{3}=120\) olduğundan
$$P(X=3) = 120 \times 0{,}5^3 \times 0{,}5^7 = 120 \times 0{,}5^{10} = \frac{120}{1024} \approx 0{,}1172$$olur. Dağılımın ortalaması \(n \cdot p = 5\), standart sapması ise \(\sqrt{10 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5} \approx 1{,}5811\)'dir.
Sık Sorulan Sorular
P(X=k) ile P(X≤k) arasındaki fark nedir? P(X=k) tam olarak k başarı elde etme olasılığıdır; P(X≤k) ise 0'dan k'ye kadar olan tüm başarı olasılıklarını toplar (kümülatif).
p değeri 1'den büyük olabilir mi? Hayır. Bir olasılık 0 ile 1 arasında olmalıdır; bu aralığın dışındaki değerler sınır değerlere çekilir.
Her deneme bağımsız olmak zorunda mı? Evet — binom modeli, başarı olasılığı sabit kalan, belirli sayıda ve birbirinden bağımsız denemeleri varsayar.
İki Terimli Olasılık Elle Nasıl Hesaplanır
\(n\) bağımsız deneme verildiğinde, her biri başarı olasılığı \(p\) olan, tam olarak \(k\) başarı elde etme olasılığı dört adımda hesaplanır.
- Düzenlemeleri say (iki terimli katsayı). \(\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\) hesaplayın — \(n\) denemelerinden hangi \(k\) tanesinin başarılı olacağını seçmenin farklı yollarının sayısı. Örneğin \(\binom{10}{8}=45\).
- Başarı olasılığını üssü al. \(p^{k}\) hesaplayın — seçilen bu \(k\) denemesinin tümünün başarılı olma olasılığı.
- Başarısızlık olasılığını üssü al. \((1-p)^{n-k}\) hesaplayın — kalan \(n-k\) denemesinin tümünün başarısız olma olasılığı.
- Üç faktörü çarp. \(P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}(1-p)^{n-k}\).
Kümülatif olasılık için bireysel terimleri toplayın: \(P(X\le k)=\sum_{i=0}^{k}\binom{n}{i}p^{i}(1-p)^{n-i}\) ve \(P(X\ge k)=1-P(X\le k-1)\).
Dağılımın özet istatistikleri
İki terimli bir dağılım için şunları da bildirebilirsiniz:
- Ortalama: \(\mu = np\)
- Varyans: \(\sigma^{2} = np(1-p)\)
- Standart sapma: \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\)
Örnek: \(n=10,\ p=0.8\) için ortalama \(\mu=10\times0.8=8\), varyans \(\sigma^{2}=10\times0.8\times0.2=1.6\) ve standart sapma \(\sigma=\sqrt{1.6}\approx1.265\) dir.
Önemli Terimler ve Değişkenler
| Terim | Simge | Anlam |
|---|---|---|
| Deneme sayısı | \(n\) | Bağımsız, aynı Bernoulli denemelerinin sabit sayısı (örneğin 10 serbest atış, 20 örneklenen parça). |
| Başarı sayısı | \(k\) | Olasılığını istediğiniz tam "başarı" sonuç sayısı, \(0\le k\le n\) ile. |
| Başarı olasılığı | \(p\) | Herhangi bir denemenin başarılı olma olasılığı, 0 ile 1 arasında; başarısızlık olasılığı \(1-p\) dir. |
| İki terimli katsayı | \(\binom{n}{k}\) | "n seçin k" — \(n\) denemelerinden hangi \(k\) tanesinin başarılı olacağını seçmenin yollarının sayısı: \(\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\). |
| Olasılık kütle fonksiyonu (OKF) | \(P(X=k)\) | Tam olarak \(k\) başarı olasılığı: \(\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}\). |
| Kümülatif olasılık (alt) | \(P(X\le k)\) | \(k\) veya daha az başarı olasılığı — OKF'nin 0'dan \(k\)'ye toplamı. |
| Kümülatif olasılık (üst) | \(P(X\ge k)\) | \(k\) veya daha fazla başarı olasılığı, \(1-P(X\le k-1)\)'e eşittir. |
| Ortalama (beklenen değer) | \(\mu=np\) | \(n\) denemesinin pek çok tekrarlanması üzerinde beklenen ortalama başarı sayısı. |
| Varyans | \(\sigma^{2}=np(1-p)\) | Başarı sayısının ortalama etrafındaki yayılmasının ölçüsü. |
| Standart sapma | \(\sigma=\sqrt{np(1-p)}\) | Varyansın karekökü, başarı sayısı ile aynı birimler cinsinden ifade edilir. |
