이항분포 확률 계산기란?
이 계산기는 동일한 성공 확률 p를 갖는 n번의 독립 시행에서 정확히 k번 성공할 확률을 구해 줍니다. 동전 던지기, 자유투 성공, 생산 라인의 불량품 개수, 예/아니오 설문 응답처럼 이런 패턴을 따르는 상황은 모두 이항분포로 설명할 수 있습니다. 정확 확률뿐 아니라 누적 확률 \(P(X \le k)\)와 \(P(X \ge k)\), 그리고 분포의 평균·분산·표준편차까지 함께 보여 줍니다.
사용 방법
시행 횟수 n(양의 정수), 관심 있는 성공 횟수 k(0 이상 n 이하), 한 번의 시행에서 성공할 확률 p(0과 1 사이의 소수, 예를 들어 공정한 동전이라면 0.5)를 입력하세요. 계산 버튼을 누르면 정확히 k번 성공할 확률과 관련 요약 통계가 나타납니다.
공식 설명
이항분포의 확률질량함수는 다음과 같습니다.
$$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$여기서 \(\binom{n}{k}\)는 "n개 중 k개 선택"을 뜻하는 이항계수로, k번의 성공이 배열될 수 있는 서로 다른 경우의 수를 세어 줍니다. \(p^k\)는 해당 k번의 시행이 모두 성공할 확률이고, \((1-p)^{n-k}\)는 나머지 시행이 모두 실패할 확률입니다. 이 셋을 곱하면 바로 그 성공 횟수가 나올 전체 확률이 됩니다.
예제로 이해하기
공정한 동전을 10번 던져(n=10, p=0.5) 앞면이 정확히 3번(k=3) 나올 확률을 구해 봅시다. \(\binom{10}{3}=120\)이므로 $$P(X=3) = 120 \times 0.5^3 \times 0.5^7 = 120 \times 0.5^{10} = \frac{120}{1024} \approx 0.1172$$입니다. 이 분포의 평균은 \(n \cdot p = 5\)이고, 표준편차는 \(\sqrt{10 \cdot 0.5 \cdot 0.5} \approx 1.5811\)입니다.
이항 확률을 손으로 계산하는 방법
각각 성공 확률이 \(p\)인 \(n\)개의 독립 시행에서 정확히 \(k\)번의 성공이 일어날 확률은 다음 네 가지 단계로 계산됩니다.
- 배치의 개수 세기 (이항계수). \(\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\)을 계산합니다. 이는 \(n\)번의 시행 중 어느 \(k\)번의 시행이 성공할지 선택하는 서로 다른 방법의 개수입니다. 예를 들어 \(\binom{10}{8}=45\)입니다.
- 성공 확률 거듭제곱. \(p^{k}\)를 계산합니다. 이는 선택된 \(k\)번의 시행이 모두 성공할 확률입니다.
- 실패 확률 거듭제곱. \((1-p)^{n-k}\)를 계산합니다. 이는 나머지 \(n-k\)번의 시행이 모두 실패할 확률입니다.
- 세 가지 인수를 곱합니다. \(P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}(1-p)^{n-k}\).
누적 확률의 경우, 개별 항들을 합산합니다: \(P(X\le k)=\sum_{i=0}^{k}\binom{n}{i}p^{i}(1-p)^{n-i}\), 그리고 \(P(X\ge k)=1-P(X\le k-1)\).
분포의 요약 통계
이항분포에 대해 다음을 보고할 수도 있습니다:
- 평균: \(\mu = np\)
- 분산: \(\sigma^{2} = np(1-p)\)
- 표준편차: \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\)
예: \(n=10,\ p=0.8\)일 때, 평균은 \(\mu=10\times0.8=8\)이고, 분산은 \(\sigma^{2}=10\times0.8\times0.2=1.6\)이며, 표준편차는 \(\sigma=\sqrt{1.6}\approx1.265\)입니다.
주요 용어 및 변수
| 용어 | 기호 | 의미 |
|---|---|---|
| 시행의 개수 | \(n\) | 독립적이고 동일한 베르누이 시행의 고정된 개수 (예: 10번의 자유투, 20개의 샘플 부품). |
| 성공의 개수 | \(k\) | 확률을 구하고자 하는 정확한 "성공" 결과의 개수이며, \(0\le k\le n\)입니다. |
| 성공 확률 | \(p\) | 단일 시행에서의 성공 확률이며, 0과 1 사이의 값입니다. 실패 확률은 \(1-p\)입니다. |
| 이항계수 | \(\binom{n}{k}\) | "n에서 k를 선택" — \(n\)번의 시행 중 어느 \(k\)번이 성공할지 선택하는 방법의 개수: \(\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\). |
| 확률질량함수 (PMF) | \(P(X=k)\) | 정확히 \(k\)번의 성공이 일어날 확률: \(\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}\). |
| 누적확률 (하측) | \(P(X\le k)\) | \(k\)번 이하의 성공이 일어날 확률 — 0부터 \(k\)까지의 확률질량함수의 합입니다. |
| 누적확률 (상측) | \(P(X\ge k)\) | \(k\)번 이상의 성공이 일어날 확률이며, \(1-P(X\le k-1)\)과 같습니다. |
| 평균 (기댓값) | \(\mu=np\) | \(n\)번의 시행을 여러 번 반복했을 때 예상되는 평균 성공 횟수입니다. |
| 분산 | \(\sigma^{2}=np(1-p)\) | 성공 횟수가 평균을 중심으로 퍼져 있는 정도를 나타내는 척도입니다. |
| 표준편차 | \(\sigma=\sqrt{np(1-p)}\) | 분산의 제곱근이며, 성공 횟수의 단위와 같은 단위로 표현됩니다. |
자주 묻는 질문
\(P(X=k)\)와 \(P(X \le k)\)는 어떻게 다른가요? \(P(X=k)\)는 정확히 k번 성공할 확률이고, \(P(X \le k)\)는 성공 횟수가 0부터 k까지인 경우의 확률을 모두 더한 누적 확률입니다.
p가 1보다 클 수 있나요? 아니요. 확률은 반드시 0과 1 사이여야 하며, 이 범위를 벗어난 값은 자동으로 제한됩니다.
각 시행이 반드시 독립이어야 하나요? 네. 이항분포 모형은 성공 확률이 일정한, 정해진 횟수의 독립 시행을 전제로 합니다.
