द्विपद प्रायिकता कैलकुलेटर क्या है?

यह कैलकुलेटर बताता है कि n स्वतंत्र परीक्षणों में ठीक k बार सफलता मिलने की प्रायिकता कितनी है, जबकि हर परीक्षण में सफलता की प्रायिकता p एक समान रहती है। ऐसी कई स्थितियाँ इसी पैटर्न पर चलती हैं — जैसे सिक्का उछालना, बास्केटबॉल में फ्री-थ्रो लगाना, किसी उत्पादन लाइन पर खराब वस्तुओं की गिनती, या सर्वे में हाँ/नहीं वाले जवाब। इन सबको द्विपद बंटन (binomial distribution) से समझाया जाता है। सटीक प्रायिकता के साथ-साथ यह संचयी प्रायिकता $P(X\le k)$ और $P(X\ge k)$ भी देता है, और बंटन का माध्य, प्रसरण व मानक विचलन भी बताता है।

इसका उपयोग कैसे करें

परीक्षणों की संख्या n दर्ज करें (एक धनात्मक पूर्ण संख्या), जितनी सफलताओं की प्रायिकता आप जानना चाहते हैं वह संख्या k भरें (0 से n के बीच), और एक ही परीक्षण में सफलता की प्रायिकता p लिखें (0 और 1 के बीच का दशमलव, उदाहरण के लिए संतुलित सिक्के के लिए 0.5)। "गणना करें" दबाते ही आपको ठीक k सफलताओं की प्रायिकता और उससे जुड़े सारांश आँकड़े दिख जाएँगे।

सूत्र की व्याख्या

द्विपद प्रायिकता द्रव्यमान फलन है:

$$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$

यहाँ $\binom{n}{k}$ — द्विपद गुणांक यानी "n में से k चुनना" — यह गिनता है कि k सफलताओं को कितने अलग-अलग तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है, $p^k$ इस बात की प्रायिकता है कि वे k परीक्षण सभी सफल हों, और $(1-p)^{n-k}$ इस बात की प्रायिकता है कि बाकी परीक्षण सभी असफल हों। इन तीनों को गुणा करने पर उस विशेष गिनती की कुल प्रायिकता मिलती है।

द्विपद सूत्र को संयोजन, सफलता और विफलता भागों में तोड़ता आरेख — यह सूत्र k सफलताओं को चुनने के तरीकों की संख्या को उन सफलताओं और विफलताओं की प्रायिकता से गुणा करता है।

हल किया हुआ उदाहरण

एक संतुलित सिक्के को 10 बार उछालें ($n=10$, $p=0.5$) और ठीक 3 बार हेड आने की प्रायिकता पूछें ($k=3$)। $\binom{10}{3}=120$, इसलिए

$$P(X=3) = 120 \times 0.5^3 \times 0.5^7 = 120 \times 0.5^{10} = \frac{120}{1024} \approx 0.1172$$

इस बंटन का माध्य $n\cdot p = 5$ है और मानक विचलन $\sqrt{10\cdot 0.5\cdot 0.5} \approx 1.5811$ है।

द्विपद बंटन का बार चार्ट जिसमें सबसे संभावित परिणाम उभारा गया है — द्विपद बंटन हर संभव सफलताओं की संख्या k के लिए $P(X=k)$ को दर्शाता है।

द्विपद संभावना को हाथ से कैसे गणना करें

दिए गए $n$ स्वतंत्र परीक्षण, प्रत्येक में सफलता की संभावना $p$ के साथ, बिल्कुल $k$ सफलताओं की संभावना चार चरणों में गणना की जाती है।

व्यवस्थाओं की गिनती (द्विपद गुणांक)। $\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$ की गणना करें, $n$ परीक्षणों में से कौन से $k$ सफल होंगे इसे चुनने के अलग-अलग तरीकों की संख्या। उदाहरण के लिए $\binom{10}{8}=45$।
सफलता की संभावना को बढ़ाएं। $p^{k}$ की गणना करें — वह संभावना कि वे $k$ चुने गए परीक्षण सभी सफल हों।
विफलता की संभावना को बढ़ाएं। $(1-p)^{n-k}$ की गणना करें — वह संभावना कि शेष $n-k$ परीक्षण सभी विफल हों।
तीनों कारकों को गुणा करें। $P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}(1-p)^{n-k}$।

एक संचयी संभावना के लिए, व्यक्तिगत शब्दों को जोड़ें: $P(X\le k)=\sum_{i=0}^{k}\binom{n}{i}p^{i}(1-p)^{n-i}$, और $P(X\ge k)=1-P(X\le k-1)$।

वितरण के सारांश आंकड़े

एक द्विपद वितरण के लिए आप यह भी रिपोर्ट कर सकते हैं:

माध्य: $\mu = np$
विचरण: $\sigma^{2} = np(1-p)$
मानक विचलन: $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$

उदाहरण: $n=10,\ p=0.8$ के लिए माध्य $\mu=10\times0.8=8$ है, विचरण $\sigma^{2}=10\times0.8\times0.2=1.6$ है, और मानक विचलन $\sigma=\sqrt{1.6}\approx1.265$ है।

मुख्य शर्तें और चर

शब्द	प्रतीक	अर्थ
परीक्षणों की संख्या	$n$	स्वतंत्र, समान बर्नौली परीक्षणों की निश्चित संख्या (उदाहरण के लिए 10 मुक्त थ्रो, 20 नमूने वाले भाग)।
सफलताओं की संख्या	$k$	"सफलता" परिणामों की सटीक संख्या जिसकी संभावना आप चाहते हैं, $0\le k\le n$ के साथ।
सफलता की संभावना	$p$	किसी भी एकल परीक्षण पर सफलता की संभावना, 0 और 1 के बीच; विफलता की संभावना $1-p$ है।
द्विपद गुणांक	$\binom{n}{k}$	"n चुनें k" — यह चुनने के तरीकों की संख्या कि $n$ परीक्षणों में से कौन से $k$ सफल होते हैं: $\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$।
संभावना द्रव्यमान फलन (PMF)	$P(X=k)$	बिल्कुल $k$ सफलताओं की संभावना: $\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$।
संचयी संभावना (निचली)	$P(X\le k)$	$k$ या उससे कम सफलताओं की संभावना — 0 से $k$ तक के PMF का योग।
संचयी संभावना (ऊपरी)	$P(X\ge k)$	$k$ या अधिक सफलताओं की संभावना, $1-P(X\le k-1)$ के बराबर।
माध्य (अपेक्षित मान)	$\mu=np$	$n$ परीक्षणों के कई दोहराव पर अपेक्षित सफलताओं की औसत संख्या।
विचरण	$\sigma^{2}=np(1-p)$	माध्य के चारों ओर सफलताओं की संख्या के प्रसार का एक माप।
मानक विचलन	$\sigma=\sqrt{np(1-p)}$	विचरण का वर्गमूल, सफलताओं की गिनती के समान इकाइयों में व्यक्त किया गया।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

$P(X=k)$ और $P(X\le k)$ में क्या अंतर है? $P(X=k)$ ठीक k सफलताओं की प्रायिकता है, जबकि $P(X\le k)$ में 0 से लेकर k तक की सभी सफलताओं की प्रायिकताएँ जोड़ी जाती हैं (संचयी)।

क्या p का मान 1 से अधिक हो सकता है? नहीं। कोई भी प्रायिकता 0 और 1 के बीच ही होनी चाहिए; इस सीमा से बाहर के मान सीमित (clamp) कर दिए जाते हैं।

क्या हर परीक्षण का स्वतंत्र होना ज़रूरी है? हाँ — द्विपद मॉडल यह मानकर चलता है कि परीक्षणों की संख्या निश्चित है, वे एक-दूसरे से स्वतंत्र हैं, और सफलता की प्रायिकता हर बार एक समान रहती है।

द्विपद गुणांक C(n,k)	120
P(X ≤ k) (cumulative)	0.171875
P(X ≥ k)	0.945312
Mean (n·p)	5
प्रसरण	2.5
मानक विचलन	1.5811

शब्द	प्रतीक	अर्थ
परीक्षणों की संख्या	\(n\)	स्वतंत्र, समान बर्नौली परीक्षणों की निश्चित संख्या (उदाहरण के लिए 10 मुक्त थ्रो, 20 नमूने वाले भाग)।
सफलताओं की संख्या	\(k\)	"सफलता" परिणामों की सटीक संख्या जिसकी संभावना आप चाहते हैं, \(0\le k\le n\) के साथ।
सफलता की संभावना	\(p\)	किसी भी एकल परीक्षण पर सफलता की संभावना, 0 और 1 के बीच; विफलता की संभावना \(1-p\) है।
द्विपद गुणांक	\(\binom{n}{k}\)	"n चुनें k" — यह चुनने के तरीकों की संख्या कि \(n\) परीक्षणों में से कौन से \(k\) सफल होते हैं: \(\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\)।
संभावना द्रव्यमान फलन (PMF)	\(P(X=k)\)	बिल्कुल \(k\) सफलताओं की संभावना: \(\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}\)।
संचयी संभावना (निचली)	\(P(X\le k)\)	\(k\) या उससे कम सफलताओं की संभावना — 0 से \(k\) तक के PMF का योग।
संचयी संभावना (ऊपरी)	\(P(X\ge k)\)	\(k\) या अधिक सफलताओं की संभावना, \(1-P(X\le k-1)\) के बराबर।
माध्य (अपेक्षित मान)	\(\mu=np\)	\(n\) परीक्षणों के कई दोहराव पर अपेक्षित सफलताओं की औसत संख्या।
विचरण	\(\sigma^{2}=np(1-p)\)	माध्य के चारों ओर सफलताओं की संख्या के प्रसार का एक माप।
मानक विचलन	\(\sigma=\sqrt{np(1-p)}\)	विचरण का वर्गमूल, सफलताओं की गिनती के समान इकाइयों में व्यक्त किया गया।

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