ما هي حاسبة الاحتمال ثنائي الحدين؟
تحسب هذه الأداة احتمال الحصول على k من حالات النجاح بالضبط ضمن n من المحاولات المستقلة، بشرط أن يكون لكل محاولة الاحتمال نفسه للنجاح p. والمواقف التي تتبع هذا النمط — مثل رمي العملة، أو تسجيل الرميات الحرة، أو القطع المعيبة على خط الإنتاج، أو الإجابات بنعم/لا في الاستبيانات — يصفها ما يُعرف بـالتوزيع ثنائي الحدين. وإلى جانب الاحتمال المحدد، تعطيك الحاسبة كذلك الاحتمالات التراكمية \(P(X\le k)\) و\(P(X\ge k)\)، فضلاً عن متوسط التوزيع وتباينه وانحرافه المعياري.
طريقة الاستخدام
أدخل عدد المحاولات n (عدد صحيح موجب)، وعدد حالات النجاح التي تهمك k (قيمة بين 0 وn)، واحتمال النجاح في المحاولة الواحدة p (قيمة عشرية بين 0 و1، مثل 0.5 لعملة متزنة). ثم اضغط على زر الحساب لتظهر لك احتمالية الحصول على k من حالات النجاح بالضبط مع الإحصاءات المختصرة المرتبطة بها.
شرح المعادلة
تُعطى دالة الكتلة الاحتمالية للتوزيع ثنائي الحدين بالصيغة
$$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$وهنا يمثل \(\binom{n}{k}\) — معامل ثنائي الحدين أو "اختيار k من n" — عددَ الترتيبات المختلفة الممكنة لـ k من حالات النجاح، بينما يمثل \(p^k\) احتمال نجاح تلك المحاولات الـ k جميعها، ويمثل \((1-p)^{n-k}\) احتمال إخفاق المحاولات المتبقية كلها. وبضرب هذه العوامل معاً نحصل على الاحتمال الكلي لذلك العدد المحدد من النجاحات.
مثال تطبيقي
لنفترض أنك ترمي عملة متزنة 10 مرات (n=10، p=0.5)، وتريد الحصول على 3 صور (وجوه) بالضبط (k=3). بما أن \(\binom{10}{3}=120\)، فإن
$$P(X=3) = 120 \times 0.5^3 \times 0.5^7 = 120 \times 0.5^{10} = \frac{120}{1024} \approx 0.1172$$أما متوسط التوزيع فهو \(n \cdot p = 5\)، وانحرافه المعياري \(\sqrt{10 \cdot 0.5 \cdot 0.5} \approx 1.5811\).
كيفية حساب احتمالية ذات الحدين يدويًا
مع إعطاء \(n\) تجارب مستقلة، كل منها بها احتمالية نجاح \(p\)، يتم حساب فرصة الحصول على نجاحات \(k\) بالضبط في أربع خطوات.
- عد الترتيبات (معامل ذي الحدين). احسب \(\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\)، عدد الطرق المختلفة لاختيار أي \(k\) من \(n\) تجربة ستنجح. على سبيل المثال \(\binom{10}{8}=45\).
- رفع احتمالية النجاح. احسب \(p^{k}\) — احتمالية أن تنجح جميع \(k\) التجارب المختارة.
- رفع احتمالية الفشل. احسب \((1-p)^{n-k}\) — احتمالية أن تفشل جميع التجارب المتبقية \(n-k\).
- اضرب العوامل الثلاثة. \(P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}(1-p)^{n-k}\).
للحصول على احتمالية تراكمية، اجمع الحدود الفردية: \(P(X\le k)=\sum_{i=0}^{k}\binom{n}{i}p^{i}(1-p)^{n-i}\)، و\(P(X\ge k)=1-P(X\le k-1)\).
إحصائيات الملخص للتوزيع
لتوزيع ذي الحدين، يمكنك أيضًا الإبلاغ عن:
- المتوسط: \(\mu = np\)
- التباين: \(\sigma^{2} = np(1-p)\)
- الانحراف المعياري: \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\)
مثال: لـ \(n=10,\ p=0.8\) المتوسط هو \(\mu=10\times0.8=8\)، التباين هو \(\sigma^{2}=10\times0.8\times0.2=1.6\)، والانحراف المعياري هو \(\sigma=\sqrt{1.6}\approx1.265\).
المصطلحات والمتغيرات الرئيسية
| المصطلح | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
| عدد التجارب | \(n\) | العدد الثابت للتجارب المستقلة والمتطابقة من برنولي (على سبيل المثال 10 رميات حرة، 20 جزء معاين). |
| عدد النجاحات | \(k\) | العدد الدقيق لنتائج "النجاح" التي تريد احتمالياتها، مع \(0\le k\le n\). |
| احتمالية النجاح | \(p\) | احتمالية النجاح في أي تجربة واحدة، بين 0 و 1؛ احتمالية الفشل هي \(1-p\). |
| معامل ذي الحدين | \(\binom{n}{k}\) | "n اختر k" — عدد الطرق لاختيار أي \(k\) من \(n\) تجربة ستنجح: \(\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\). |
| دالة الكتلة الاحتمالية (PMF) | \(P(X=k)\) | احتمالية نجاحات \(k\) بالضبط: \(\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}\). |
| الاحتمالية التراكمية (السفلى) | \(P(X\le k)\) | احتمالية \(k\) أو أقل من النجاحات — مجموع PMF من 0 إلى \(k\). |
| الاحتمالية التراكمية (العليا) | \(P(X\ge k)\) | احتمالية \(k\) أو أكثر من النجاحات، تساوي \(1-P(X\le k-1)\). |
| المتوسط (القيمة المتوقعة) | \(\mu=np\) | متوسط عدد النجاحات المتوقع على مدى تكرارات عديدة لـ \(n\) تجربة. |
| التباين | \(\sigma^{2}=np(1-p)\) | مقياس لانتشار عدد النجاحات حول المتوسط. |
| الانحراف المعياري | \(\sigma=\sqrt{np(1-p)}\) | الجذر التربيعي للتباين، معبر عنه بنفس وحدات عدد النجاحات. |
الأسئلة الشائعة
ما الفرق بين \(P(X=k)\) و\(P(X\le k)\)؟ يمثل \(P(X=k)\) احتمال الحصول على k من النجاحات بالضبط، في حين يجمع \(P(X\le k)\) الاحتمالات من 0 وحتى k من النجاحات (أي القيمة التراكمية).
هل يمكن أن تتجاوز قيمة p العدد 1؟ لا. يجب أن يكون الاحتمال بين 0 و1، وأي قيمة خارج هذا النطاق يجري ضبطها داخل الحدود.
هل يلزم أن تكون كل محاولة مستقلة؟ نعم — يفترض النموذج ثنائي الحدين عدداً ثابتاً من المحاولات المستقلة باحتمال نجاح ثابت.
