等差数列とは？
等差数列とは、隣り合う項の差がつねに一定になっている数の並びのことです。この一定の差を公差（d）といいます。初項を \(a_1\) とすると、数列は \(a_1\)、\(a_1+d\)、\(a_1+2d\)、… と続いていきます。そして、これらの項をすべて足し合わせたものが等差級数（等差数列の和）です。本ツールでは、任意の等差数列について第n項（一般項）と項の合計の両方を一度に求められます。
このツールの使い方
初項（\(a_1\)）、公差（d）、求めたい項数（n）の3つを入力してください。すると、第n項の値（\(a_n\)）と、その n 項分の合計 \(S_n\) が表示されます。公差は正の数・負の数・ゼロのいずれでもよく、初項にも任意の実数を指定できます。
公式のしくみ
第n項は、初項に公差を (n−1) 回だけ足すことで求められます。式で書くと $$a_n = a_1 + (n-1)d$$ です。和の方は、ガウスにちなんで知られる「ペアにする」工夫を使います。最初の項と最後の項、2番目の項と最後から2番目の項…というように両端からペアを作ると、どのペアも合計が \((a_1 + a_n)\) になります。こうしたペアが \(n/2\) 組できるので、$$S_n = \frac{n}{2}\,(a_1 + a_n)$$ という式が導かれます。
計算例
\(a_1 = 3\)、\(d = 5\)、\(n = 10\) の場合を考えてみましょう。第10項は $$a_{10} = 3 + (10-1)\times 5 = 3 + 45 = 48$$ となります。最初の10項の和は $$S_{10} = \frac{10}{2}\times(3 + 48) = 5 \times 51 = 255$$ です。つまり、3, 8, 13, … , 48 という数列の合計は 255 になります。
よくある質問（FAQ）
公差が0のときはどうなりますか？ すべての項が初項 \(a_1\) と同じ値になるため、\(a_n = a_1\) となり、和は単純に \(n \times a_1\) です。
項に負の数や小数を使えますか？ はい、使えます。\(a_1\) にも \(d\) にも任意の実数を入力でき、公式はそのまま正確に成り立ちます。
「数列」と「級数」の違いは何ですか？ 数列は項を順に並べたもの、級数はそれらの項を足し合わせた和のことを指します。
