Résultats

Somme de la série (Sₙ)

100

sum of the first 10 terms

Dernier terme / n-ième terme (aₙ)	19
Premier terme (a₁)	1
Raison (d)	2
Nombre de termes (n)	10

Qu'est-ce qu'une suite arithmétique ?

Une suite arithmétique est une liste de nombres dans laquelle chaque terme s'obtient en ajoutant au précédent une valeur fixe appelée la raison ($d$). En partant d'un premier terme $a_1$, la suite s'écrit $a_1, a_1+d, a_1+2d$, et ainsi de suite. La série arithmétique correspondante n'est rien d'autre que la somme de ces termes. Ce calculateur détermine à la fois le n-ième terme et la somme cumulée de n'importe quelle progression arithmétique.

Droite numérique montrant des points équidistants d'une suite arithmétique avec des écarts égaux notés d — Une suite arithmétique progresse d'une raison constante $d$ entre les termes consécutifs.

Comment utiliser ce calculateur

Saisissez le premier terme ($a_1$), la raison ($d$) et le nombre de termes souhaité ($n$). L'outil affiche la valeur du n-ième terme ($a_n$) ainsi que la somme totale $S_n$ de ces $n$ termes. La raison peut être positive, négative ou nulle, et le premier terme peut être n'importe quel nombre réel.

Les formules expliquées

On obtient le n-ième terme en ajoutant la raison $(n-1)$ fois au premier terme :

$$a_n = a_1 + (n-1)d$$

Pour la somme, on utilise l'élégante astuce d'appariement attribuée à Gauss : on associe le premier et le dernier terme, le deuxième et l'avant-dernier, et ainsi de suite. Chaque paire vaut $(a_1 + a_n)$, et il existe $n/2$ paires de ce type, d'où

$$S_n = \frac{n}{2}\,(a_1 + a_n)$$

Diagramme en barres des termes d'une série arithmétique avec un trapèze superposé illustrant la formule de la somme — La somme apparie les termes, de sorte que $S_n$ vaut $n/2$ fois la somme du premier et du dernier terme.

Exemple résolu

Supposons $a_1 = 3$, $d = 5$ et $n = 10$. Le 10ᵉ terme vaut

$$a_{10} = 3 + (10-1)\cdot 5 = 3 + 45 = 48$$

La somme des 10 premiers termes est

$$S_{10} = \frac{10}{2}\,(3 + 48) = 5 \cdot 51 = 255$$

Ainsi, la série $3, 8, 13, \ldots, 48$ totalise 255.

FAQ

Que se passe-t-il si la raison vaut 0 ? Tous les termes sont égaux à $a_1$, donc $a_n = a_1$ et la somme vaut simplement $n \times a_1$.

Les termes peuvent-ils être négatifs ou décimaux ? Oui. $a_1$ et $d$ peuvent prendre n'importe quelle valeur réelle ; les formules restent rigoureusement valables.

Quelle est la différence entre une suite et une série ? Une suite est la liste ordonnée des termes ; une série est la somme de ces termes.

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