Что такое арифметическая прогрессия?
Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член отличается от предыдущего на постоянную величину, называемую разностью прогрессии (\(d\)). Начиная с первого члена \(a_1\), последовательность выглядит так: \(a_1, a_1+d, a_1+2d\) и т. д. Соответствующий арифметический ряд — это просто сумма этих членов. Наш калькулятор находит и n-й член, и сумму для любой арифметической прогрессии.
Как пользоваться калькулятором
Введите первый член (\(a_1\)), разность прогрессии (\(d\)) и нужное количество членов (\(n\)). Калькулятор покажет значение n-го члена (\(a_n\)) и общую сумму \(S_n\) этих \(n\) членов. Разность может быть положительной, отрицательной или равной нулю, а первый член — любым действительным числом.
Разбираем формулы
n-й член находят, прибавляя разность к первому члену \((n-1)\) раз: $$a_n = a_1 + (n-1)d$$ Для суммы используется изящный приём с группировкой, который приписывают Гауссу: складывают первый и последний члены, второй и предпоследний и так далее. Каждая такая пара в сумме даёт \((a_1 + a_n)\), а всего пар \(n/2\), поэтому $$S_n = \frac{n}{2}\,(a_1 + a_n)$$
Разбор примера
Пусть \(a_1 = 3\), \(d = 5\) и \(n = 10\). Тогда десятый член равен $$a_{10} = 3 + (10-1)\cdot 5 = 3 + 45 = 48$$ Сумма первых 10 членов составляет $$S_{10} = \frac{10}{2}\,(3 + 48) = 5 \cdot 51 = 255$$ Значит, ряд \(3, 8, 13, \ldots, 48\) в сумме даёт 255.
Частые вопросы
Что будет, если разность равна 0? Все члены равны \(a_1\), поэтому \(a_n = a_1\), а сумма равна просто \(n \times a_1\).
Могут ли члены быть отрицательными или дробными? Да. Для \(a_1\) и \(d\) подходят любые действительные числа — формулы по-прежнему работают точно.
Чем отличается прогрессия от ряда? Прогрессия — это упорядоченный набор членов, а ряд — это сумма этих членов.
