等差数列とは?
等差数列とは、隣り合う項の差が一定になるように並んだ数の列のことです。この一定の差を「公差(d)」と呼び、数列は増えていく場合も減っていく場合もあります。初項 a₁ から始まり、次の項へ進むたびに d を足していくのが特徴です。この計算機を使えば、3つの数値を入力するだけで、第n項(aₙ)と初項から第n項までの和(Sₙ)を一瞬で求められます。
この計算機の使い方
まず初項 a₁、次に公差 d を入力します(増加する数列なら正の値、減少する数列なら負の値)。最後に求めたい項の番号 n を入力してください。「計算」ボタンを押すと、第n項 aₙ の値と、a₁ から aₙ までをすべて足し合わせた和 Sₙ が表示されます。
公式の解説
第n項は次の式で求められます:
$$a_n = a_1 + (n - 1)d$$これは、初項のあとに公差を \((n - 1)\) 回足していくためです。部分和には、ガウスが見つけたとされる「両端を組にして考える方法」を使います:
$$S_n = \frac{n}{2}\left(a_1 + a_n\right)$$これは「初項と末項の平均」に「項数」を掛けたものと考えると分かりやすいでしょう。
計算例
たとえば \(a_1 = 2\)、\(d = 3\)、\(n = 10\) とします。第10項は
$$a_n = 2 + (10 - 1)\cdot 3 = 2 + 27 = 29$$となります。そして最初の10項の和は
$$S_n = \frac{10}{2}\left(2 + 29\right) = 5 \times 31 = 155$$になります。
複数のシナリオにおける等差数列の比較
等差数列の2つの主要な出力は、第n項 \(a_n = a_1 + (n-1)d\) と部分和 \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\) です。以下の表は、正の公差、負の（減少する）公差、および分数のステップを含む、いくつかの現実的な入力セットにこれらの公式を適用しています。
| 初項 \(a_1\) | 公差 \(d\) | 項の数 \(n\) | 第n項 \(a_n\) | 和 \(S_n\) | 数列のプレビュー |
|---|---|---|---|---|---|
| 5 | 2 | 8 | 19 | 96 | 5, 7, 9, …, 19 |
| 10 | -3 | 6 | -5 | 15 | 10, 7, 4, …, -5 |
| 0 | 0.5 | 20 | 9.5 | 95 | 0, 0.5, 1, …, 9.5 |
| 100 | -10 | 11 | 0 | 550 | 100, 90, 80, …, 0 |
| 1 | 1 | 100 | 100 | 5050 | 1, 2, 3, …, 100 |
負の \(d\) は減少する数列を生じ、後の項が負になっても、早期の項がそれらを上回る限り、合計は依然として正になることに注意してください。
重要な用語と変数
- 初項 \(a_1\)
- 数列の開始値 — 位置 \(n = 1\) での値。その他すべての項は、公差を繰り返し加えることで構築されます。
- 公差 \(d\)
- 1つの項から次の項に加える固定の量：\(d = a_{n} - a_{n-1}\)。正の \(d\) は増加する数列、負の \(d\) は減少する数列、\(d = 0\) は定数列を与えます。
- 第n項 \(a_n\)
- 位置 \(n\) での項の値。\(a_n = a_1 + (n-1)d\) を使用して直接見つけることができ、その間のすべての項をリストする必要はありません。
- 部分和 \(S_n\)
- 最初の \(n\) 項の合計、\(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\)。最初と最後の項をペアにして、ペア数を掛けます。
- 項の位置 \(n\)
- どの項が必要か（1番目、2番目、3番目、…）を示す正の整数インデックス。これは、\(S_n\) で合計される項の数と同じです。
- 等差数列と級数
- 数列は項の順序付きリスト（5, 7, 9, …）です。級数はこれらの項を加えた結果です。\(a_n\) は数列を説明し、\(S_n\) は対応する有限級数の値です。
手計算での計算方法
3つの入力 \(a_1\)、\(d\)、および \(n\) から、第n項と合計の両方を見つけるには、この手順を使用してください。例 \(a_1 = 5\)、\(d = 2\)、\(n = 8\) を各ステップを通じて実行します。
- \(a_1\)、\(d\)、および \(n\) を特定してください。初項、項間の定数ステップ、および必要な位置を読みます。ここでは \(a_1 = 5\)、\(d = 2\)、および \(n = 8\)。
- 第n項を計算してください。\(a_n = a_1 + (n-1)d\) に代入します：
\(a_8 = 5 + (8 - 1)\times 2 = 5 + 7\times 2 = 5 + 14 = 19\)。 - 部分和を計算してください。\(a_1\)、\(a_n\)、および \(n\) を \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\) に代入します：
\(S_8 = \frac{8}{2}(5 + 19) = 4 \times 24 = 96\)。 - 結果を確認してください。項をリストすると 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 が得られます。最後は \(a_8 = 19\) で、合計は96 で、\(S_8\) が確認されます。
\(a_1\) と \(d\) から合計のみが必要で、既に作業を優先したい場合、結合された形式 \(S_n = \frac{n}{2}\bigl(2a_1 + (n-1)d\bigr)\) は同じ答えを1行で与えます：\(S_8 = \frac{8}{2}(2\times 5 + 7\times 2) = 4(10 + 14) = 96\)。
よくある質問
公差 d は負の数でもよいですか? はい、問題ありません。公差が負の場合は減少していく数列になりますが、公式はそのまま正しく使えます。
Sₙ は何を表していますか? Sₙ は、a₁ から aₙ までのすべての項を足し合わせた合計です。無限級数ではなく、有限個の項の「部分和」を指します。
n = 1 のときはどうなりますか? その場合は項が1つしかないため、\(a_n = a_1\)、\(S_n = a_1\) となります。
