등차수열 계산기

Sum of first n terms (S_n)	155
첫째항 (a₁)	2
공차 (d)	3
항의 위치 (n)	10

등차수열이란?

등차수열은 각 항이 일정한 값만큼 커지거나 작아지는 수의 나열로, 이 일정한 값을 공차 $d$라고 부릅니다. 첫째항 $a_1$에서 시작해 다음 항으로 갈 때마다 공차 $d$를 더해 나갑니다. 이 계산기는 세 가지 값만 입력하면 $n$번째 항($a_n$)과 처음 $n$개 항의 합($S_n$)을 즉시 구해 줍니다.

일정한 간격 d로 등차수열을 이루는 등간격 점들이 표시된 수직선 — 각 항은 같은 공차 $d$만큼 증가합니다.

계산기 사용법

첫째항 $a_1$, 공차 $d$(수가 커지면 양수, 작아지면 음수), 그리고 구하고 싶은 항의 위치 $n$을 입력하세요. 계산 버튼을 누르면 $n$번째 항 $a_n$의 값과 $a_1$부터 $a_n$까지 모든 항을 더한 누적 합 $S_n$을 확인할 수 있습니다.

공식 풀이

$n$번째 항은 다음과 같이 구합니다.

$$a_n = a_1 + (n - 1)d$$

첫째항 다음부터 공차를 $(n - 1)$번 더하기 때문입니다. 부분합은 가우스가 발견한 짝짓기 방법을 이용해 다음과 같이 계산합니다.

$$S_n = \frac{n}{2}\left(a_1 + a_n\right)$$

이는 첫째항과 마지막 항의 평균에 항의 개수를 곱한 값입니다.

수열의 첫 항과 마지막 항을 짝지어 합 공식을 설명하는 그림 — 양 끝의 항을 짝지으면 합 공식 $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$을 얻습니다.

예제로 살펴보기

$a_1 = 2$, $d = 3$, $n = 10$인 경우를 생각해 봅시다. 10번째 항은 다음과 같습니다.

$$a_n = 2 + (10 - 1)\cdot 3 = 2 + 27 = 29$$

처음 10개 항의 합은 다음과 같이 됩니다.

$$S_n = \frac{10}{2}\times(2 + 29) = 5 \times 31 = 155$$

여러 시나리오에서 등차수열 비교하기

등차수열의 두 가지 주요 출력값은 n번째 항 $a_n = a_1 + (n-1)d$과 부분합 $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$입니다. 아래 표는 양의 공차, 음의(감소하는) 공차, 분수 단계를 포함한 여러 현실적인 입력 집합에 이러한 공식을 적용합니다.

첫 번째 항 $a_1$	공차 $d$	항의 개수 $n$	n번째 항 $a_n$	합 $S_n$	수열 미리보기
5	2	8	19	96	5, 7, 9, …, 19
10	-3	6	-5	15	10, 7, 4, …, -5
0	0.5	20	9.5	95	0, 0.5, 1, …, 9.5
100	-10	11	0	550	100, 90, 80, …, 0
1	1	100	100	5050	1, 2, 3, …, 100

음수 $d$는 감소하는 수열을 만들고, 초기 항들이 나중의 항들을 충분히 상쇄하는 한 합은 여전히 양수일 수 있음에 주목하십시오.

주요 용어 및 변수

첫 번째 항 $a_1$: 수열의 시작값 — 위치 $n = 1$에서의 값입니다. 다른 모든 항은 공차를 반복해서 더해서 구성됩니다.
공차 $d$: 한 항에서 다음 항으로 더해지는 고정된 양: $d = a_{n} - a_{n-1}$. 양수 $d$는 증가하는 수열을 만들고, 음수 $d$는 감소하는 수열을 만들며, $d = 0$은 상수 수열을 만듭니다.
n번째 항 $a_n$: 위치 $n$에서의 항의 값으로, $a_n = a_1 + (n-1)d$를 이용하여 그 사이의 모든 항을 나열하지 않고도 직접 구합니다.
부분합 $S_n$: 처음 $n$개 항의 합인 $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$입니다. 첫 항과 마지막 항을 짝지어 쌍의 개수로 곱합니다.
항의 위치 $n$: 원하는 항이 몇 번째인지 말해주는 양의 정수 인덱스입니다(1번째, 2번째, 3번째, …). 또한 $S_n$에서 합해지는 항의 개수와도 같습니다.
등차수열 대 급수: 수열은 항들의 정렬된 목록입니다(5, 7, 9, …); 급수는 그 항들을 더했을 때 얻는 것입니다. $a_n$은 수열을 나타내고, $S_n$은 대응하는 유한 급수의 값입니다.

손으로 계산하는 방법

세 입력값 $a_1$, $d$, $n$으로부터 n번째 항과 합을 모두 구하려면 이 절차를 사용하세요. 예 $a_1 = 5$, $d = 2$, $n = 8$을 각 단계를 거쳐 진행하겠습니다.

$a_1$, $d$, $n$을 파악합니다. 첫 번째 항, 항들 사이의 일정한 간격, 필요한 위치를 읽습니다. 여기서 $a_1 = 5$, $d = 2$, $n = 8$입니다.
n번째 항을 계산합니다. $a_n = a_1 + (n-1)d$에 대입합니다:
$a_8 = 5 + (8 - 1)\times 2 = 5 + 7\times 2 = 5 + 14 = 19$.
부분합을 계산합니다. $a_1$, $a_n$, $n$을 $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$에 대입합니다:
$S_8 = \frac{8}{2}(5 + 19) = 4 \times 24 = 96$.
결과를 확인합니다. 항들을 나열하면 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 — 마지막 항은 $a_8 = 19$이고 합은 96이므로 $S_8$을 확인했습니다.

합만 필요하고 이미 $a_1$과 $d$에서 작업하기를 선호한다면, 합성 형태 $S_n = \frac{n}{2}\bigl(2a_1 + (n-1)d\bigr)$는 한 줄에 같은 답을 줍니다: $S_8 = \frac{8}{2}(2\times 5 + 7\times 2) = 4(10 + 14) = 96$.